Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada.
\int_{C}\left(x y+x^{2}\right) d x+x^{2} d y, sendo C o arco da parábola y=2 x^{2}, da origem ao ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{C}\left(xy+x^{2}\right)\,dx + x^{2}\,dy
onde C é o arco da parábola y=2x^{2} que vai do ponto (0,0) até o ponto (1,2).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A forma diferencial é P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=xy+x^{2} e Q(x,y)=x^{2}.
  • A curva C é o gráfico y=2x^{2} e a orientação é do ponto inicial (0,0) até o ponto final (1,2).
  • Preciso calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Escolha do parâmetro e justificativa (motivo prático):
Quando a curva é o gráfico de uma função y=f(x) e a orientação segue o aumento de x, é natural usar x como parâmetro. Então eu tomo um parâmetro t tal que
x(t)=t,\qquad y(t)=2t^{2},
com t variando de 0 até 1 (pois t=0 (0,0) e t=1 (1,2)). Esta escolha é direta e facilita as contas porque dx e dy são derivadas simples de t.
(Dica rápida: parametrizar a curva transforma a integral de linha em uma integral usual em t.)

Passo 3

Regra prática para transformar a integral de linha em integral em t:
Se eu tenho uma parametrização \big(x(t),y(t)\big) para a\le t\le b, então
dx = x'(t)\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt,
e a integral de linha
\int_{C} P\,dx + Q\,dy
vira
\int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Vou aplicar isso com a parametrização escolhida.

Passo 4

Calcular as derivadas e avaliar P e Q na parametrização:
x(t)=t \implies x'(t)=1,\qquad y(t)=2t^{2} \implies y'(t)=4t.
Agora
P(x(t),y(t)) = x(t)\,y(t) + x(t)^{2} = t\cdot(2t^{2}) + t^{2} = 2t^{3} + t^{2},
Q(x(t),y(t)) = x(t)^{2} = t^{2}.

Passo 5

Montar a integral em t e simplificar o integrando:
Usando a fórmula do passo anterior,
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{0}^{1} \big((2t^{3}+t^{2})\cdot 1 + (t^{2})\cdot (4t)\big)\,dt.
Simplificando o integrando:
(2t^{3}+t^{2}) + 4t^{3} = 6t^{3} + t^{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} (6t^{3}+t^{2})\,dt.

Passo 6

Calcular a integral indefinida e avaliar os limites:
Calculo as primitivas termo a termo:
\int 6t^{3}\,dt = 6\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{6}{4}t^{4}=\frac{3}{2}t^{4},
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
Somando e avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{3}{2}t^{4}+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{2}\cdot 1 + \frac{1}{3} - 0 = \frac{3}{2} + \frac{1}{3}.
Fazendo a soma com denominador comum 6:
\frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}.

Passo 7

Verificação rápida e incentivo:
O cálculo está consistente: a parametrização cobre o arco pedido e a simplificação do integrando foi direta. Você fez bem em parametrizar por x=t — é a forma mais direta quando a curva é um gráfico y=f(x). Continua firme que está indo bem!

Resposta

\frac{11}{6}

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