Calcule a integral de linha indicada sobre a curva dada.
, sendo
o arco da parábola
, da origem ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde
é o arco da parábola
que vai do ponto
até o ponto
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A forma diferencial é
com e . - A curva
é o gráfico e a orientação é do ponto inicial até o ponto final . - Preciso calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Escolha do parâmetro e justificativa (motivo prático):
Quando a curva é o gráfico de uma função e a orientação segue o aumento de
, é natural usar
como parâmetro. Então eu tomo um parâmetro
tal que
Quando a curva é o gráfico de uma função
com
variando de
até
(pois
dá
e
dá
). Esta escolha é direta e facilita as contas porque
e
são derivadas simples de
.
(Dica rápida: parametrizar a curva transforma a integral de linha em uma integral usual em
.)
Passo 3
Regra prática para transformar a integral de linha em integral em
:
Se eu tenho uma parametrização para
, então
Se eu tenho uma parametrização
e a integral de linha
vira
Vou aplicar isso com a parametrização escolhida.
Passo 4
Calcular as derivadas e avaliar
e
na parametrização:
Agora
Passo 5
Montar a integral em
e simplificar o integrando:
Usando a fórmula do passo anterior,
Usando a fórmula do passo anterior,
Simplificando o integrando:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral indefinida e avaliar os limites:
Calculo as primitivas termo a termo:
Calculo as primitivas termo a termo:
Somando e avaliando de
a
:
Fazendo a soma com denominador comum
:
Passo 7
Verificação rápida e incentivo:
O cálculo está consistente: a parametrização cobre o arco pedido e a simplificação do integrando foi direta. Você fez bem em parametrizar por — é a forma mais direta quando a curva é um gráfico
. Continua firme que está indo bem!
O cálculo está consistente: a parametrização cobre o arco pedido e a simplificação do integrando foi direta. Você fez bem em parametrizar por