Calcule a integral de linha \int_{\alpha} \vec{F} d \alpha.
\vec{F}(x, y)=\left(x y^{2},-x^{2}\right), \alpha(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right), t \in[0,1].

Passo 1

Temos o campo vetorial \vec{F}(x,y) = (x\,y^2,\,-x^2) e a curva parametrizada por
\alpha(t) = (t^3,\,t^2), t\in[0,1].
O objetivo é calcular a integral de linha
\int_{\alpha}\vec{F}\,\mathrm{d}\alpha
que, pela definição, se escreve como
\int_{0}^{1}\vec{F}(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Substituímos a parametrização em \vec{F}. Para \alpha(t)=(x,y)=(t^3,t^2) obtemos
\vec{F}(\alpha(t)) = \bigl(t^3\,(t^2)^2,\,-(t^3)^2\bigr) = \bigl(t^7,\,-t^6\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada da curva:
\alpha'(t) = \bigl(3t^2,\;2t\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar e escrevemos a integral:
\vec{F}(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) = t^7\cdot3t^2 + (-t^6)\cdot2t = 3t^9 - 2t^7.
Portanto
\int_{\alpha}\vec{F}\,\mathrm{d}\alpha = \int_{0}^{1}\bigl(3t^9 - 2t^7\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1}3t^9\,\mathrm{d}t = 3\cdot\frac{1}{10} = \frac{3}{10}, \qquad \int_{0}^{1}2t^7\,\mathrm{d}t = 2\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{4}.
Subtraindo, obtemos
\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}

Exercícios relacionados