Determine o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}(x, y)=(x, y+2) sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide \alpha(t)=(t-\operatorname{sen}(t), 1-\cos (t)), t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \vec F(x,y)=(x,\,y+2) ao longo da curva paramétrica
\alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t-\operatorname{sen} t,\;1-\cos t\bigr), \quad t\in[0,\pi].
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial. Vamos usar a definição
W=\int_C\vec F\cdot d\vec r =\int_{t=0}^{t=\pi}\vec F\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\alpha'(t)\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t). Temos
x(t)=t-\operatorname{sen} t,\quad y(t)=1-\cos t
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x'(t)=1-\cos t, \quad y'(t)=\operatorname{sen} t,
e
\alpha'(t)=\bigl(1-\cos t,\;\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 3

Avaliar \vec F ao longo de \alpha(t):
\vec F\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\bigl(x(t),\,y(t)+2\bigr) =\bigl(t-\operatorname{sen} t,\;1-\cos t+2\bigr) =\bigl(t-\operatorname{sen} t,\;3-\cos t\bigr).

Passo 4

Formar o produto escalar \vec F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t):
\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr)\,(1-\cos t) +\bigl(3-\cos t\bigr)\,\operatorname{sen} t.
Expandindo:
(t-\operatorname{sen} t)(1-\cos t) +(3-\cos t)\operatorname{sen} t =t(1-\cos t)-\operatorname{sen} t(1-\cos t)+3\operatorname{sen} t-\cos t\,\operatorname{sen} t.
Agrupando termos semelhantes:
-\operatorname{sen} t(1-\cos t)+3\operatorname{sen} t =-\operatorname{sen} t+\operatorname{sen} t\cos t+3\operatorname{sen} t =2\operatorname{sen} t+\operatorname{sen} t\cos t,
e notando que \operatorname{sen} t\cos t-\cos t\,\operatorname{sen} t=0, a expressão total fica
t(1-\cos t)+2\operatorname{sen} t.

Passo 5

Montar e calcular a integral:
W=\int_{0}^{\pi}\bigl[t(1-\cos t)+2\operatorname{sen} t\bigr]\,dt =\int_{0}^{\pi}t\,dt -\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt +2\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,dt.
  1. \displaystyle\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi^2}{2}.
  2. \displaystyle\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,dt=\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi}=2, logo 2\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,dt=4.
  3. Para \displaystyle\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt, use integração por partes com u=t, dv=\cos t\,dt:
\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt =\bigl[t\operatorname{sen} t\bigr]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,dt =0-2=-2.
Então -\int_{0}^{\pi}t\cos t\,dt=2.
Somando tudo:
W=\frac{\pi^2}{2}+2+4 =\frac{\pi^2}{2}+6.

Resposta

W=\frac{\pi^2}{2}+6.

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