Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular \int_{\alpha} \vec{F} d \alpha em que \vec{F}(x, y)=(2 \operatorname{sen}(2 x+y), \operatorname{sen}(2 x+y)) ao longo do caminho que consiste em segmento de reta ( \pi, 0 ) até ( 2,5 ), seguida por uma reta até ( 5 \pi, 0 ) seguida por um quarto de circunferência até (0,5 \pi).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha
para \vec{F}(x,y)=(2\sin(2x+y),\sin(2x+y)) ao longo de um caminho que vai de A=(\pi,0) a B=(0,5\pi) em três pedaços. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que afirma que se \vec{F} é conservativo, então
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha = \varphi(B)-\varphi(A),
onde \varphi é uma função potencial tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 2

Verificamos que \vec{F} é conservativo calculando as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\sin(2x+y)\bigr) =2\cos(2x+y), \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(2x+y)\bigr) =2\cos(2x+y).
Como são iguais e o domínio é todo \mathbb{R}^2, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial \varphi(x,y), integramos a primeira componente em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 2\sin(2x+y)\,dx =-\cos(2x+y)+C(y).
Derivando isso em y \sin(2x+y)+C'(y), que deve coincidir com \sin(2x+y). Logo C'(y)=0 e podemos tomar
\varphi(x,y)=-\cos(2x+y).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\alpha =\varphi(B)-\varphi(A),
com A=(\pi,0) e B=(0,5\pi). Calculamos
\varphi(A)=-\cos(2\pi+0)=-\cos(2\pi)=-1, \qquad \varphi(B)=-\cos(0+5\pi)=-\cos(5\pi)=-(-1)=1.
Portanto
\varphi(B)-\varphi(A)=1-(-1)=2.

Resposta

2

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