Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
em que
ao longo do caminho que consiste em segmento de reta (
) até ( 2,5 ), seguida por uma reta até (
) seguida por um quarto de circunferência até
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
para
ao longo de um caminho que vai de
a
em três pedaços. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que afirma que se
é conservativo, então
onde
é uma função potencial tal que
.
Passo 2
Verificamos que
é conservativo calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como são iguais e o domínio é todo
,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos a primeira componente em relação a
:
Derivando isso em
dá
, que deve coincidir com
. Logo
e podemos tomar
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos
com
e
. Calculamos
Portanto