Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
\int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3}}
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com singularidade em 0 e de integração sobre intervalo infinito. Vamos usar a definição de integral imprópria e testar cada ponto problemático.

Passo 2

Identificamos duas fontes de impropriedade: o ponto x=0 (singularidade de tipo infinito) e o limite superior x\to+\infty. Decompomos
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3}} =\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{3}}+\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3}}.

Passo 3

Analisamos primeiro o trecho de 1 até +\infty. Usamos a antiderivada de x^{-3}:
\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2x^{2}}.
Logo,
\int_{1}^{R}\frac{dx}{x^{3}} =\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{R} =-\frac{1}{2R^{2}}+\frac{1}{2}
e, fazendo R\to+\infty, o termo -1/(2R^{2}) tende a zero. Portanto
\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3}}=\frac{1}{2},
ou seja, esta parte converge.

Passo 4

Agora olhamos o trecho de 0 até 1. Definimos
\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^{3}} =\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{\varepsilon}^{1} =-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\varepsilon^{2}}.
Ao fazermos \varepsilon\to0^{+}, o termo 1/(2\varepsilon^{2}) cresce sem limite, levando a integral ao infinito. Logo
\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{3}}=+\infty,
ou seja, esta parte diverge.

Passo 5

Como a parte de 0 a 1 diverge, a integral total
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^{3}}
também diverge, mesmo tendo parte convergente em [1,\infty).

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados