Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com singularidade em 0 e de integração sobre intervalo infinito. Vamos usar a definição de integral imprópria e testar cada ponto problemático.
Passo 2
Identificamos duas fontes de impropriedade: o ponto
(singularidade de tipo infinito) e o limite superior
. Decompomos
Passo 3
Analisamos primeiro o trecho de
até
. Usamos a antiderivada de
:
Logo,
e, fazendo
, o termo
tende a zero. Portanto
ou seja, esta parte converge.
Passo 4
Agora olhamos o trecho de
até
. Definimos
Ao fazermos
, o termo
cresce sem limite, levando a integral ao infinito. Logo
ou seja, esta parte diverge.
Passo 5
Como a parte de
a
diverge, a integral total
também diverge, mesmo tendo parte convergente em
.
Resposta
A integral diverge.