Determine se cada uma das integrais a seguir diverge ou converge.
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec} (\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta
converge ou diverge. Trata-se de uma integral imprópria porque \operatorname{sec}(\theta)=1/\cos(\theta) tem singularidade em \theta=\pi/2. Vamos estudar esse tipo de integral tomando um limite.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite quando o extremo superior b se aproxima de \pi/2 pela esquerda:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta = \lim_{b\to\frac{\pi}{2}^-} \int_{\frac{\pi}{4}}^{b} \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Sabemos que um antiderivado de \operatorname{sec}(\theta) é
\int \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}(\theta)+\tan(\theta)\bigr| + C.
Logo,
\int_{\frac{\pi}{4}}^{b} \operatorname{sec}(\theta)\,d\theta = \ln\bigl(\operatorname{sec}(b)+\tan(b)\bigr)\;-\;\ln\bigl(\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})+\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Como \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2} e \tan(\tfrac{\pi}{4})=1, o segundo termo é \ln(\sqrt2+1).

Passo 4

Agora analisamos o limite
\lim_{b\to\frac{\pi}{2}^-} \ln\bigl(\operatorname{sec}(b)+\tan(b)\bigr) -\ln(\sqrt2+1).
Quando b\to\pi/2^- temos \cos(b)\to0^+, logo \operatorname{sec}(b)\to+\infty e \tan(b)\to+\infty, de modo que \operatorname{sec}(b)+\tan(b)\to+\infty. Portanto
\ln\bigl(\operatorname{sec}(b)+\tan(b)\bigr)\;\longrightarrow\;+\infty
e todo o limite diverge para +\infty.

Resposta

A integral diverge.

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