Calcule a integral de linha:
\int_{c} F \cdot d r, onde F(x, y, z)=e^{z} i+x z j+c x+y) k e c é dado por r(t)=t^{2} i+t^{3} j-t k, 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde F(x,y,z) = \bigl(e^{z},\,x z,\,c x+y\bigr) e a curva C é dada por
r(t) = \bigl(t^{2},\,t^{3},\,-t\bigr),\quad 0 \le t \le 1.
Para resolver vamos parametrizar F ao longo de r(t), calcular r'(t), formar o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calculamos a derivada de r(t):
r'(t) = \bigl(2t,\;3t^{2},\;-1\bigr).

Passo 3

Substituímos \;x=t^{2},\;y=t^{3},\;z=-t\; em F:
F\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(e^{-t},\;t^{2}(-t),\;c\,t^{2}+t^{3}\bigr) =\bigl(e^{-t},\;-t^{3},\;c\,t^{2}+t^{3}\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = e^{-t}\cdot(2t)\;+\;(-t^{3})\cdot(3t^{2})\;+\;(c\,t^{2}+t^{3})\cdot(-1).
Isto é
2t\,e^{-t}-3t^{5}-c\,t^{2}-t^{3}.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2t\,e^{-t}-3t^{5}-c\,t^{2}-t^{3}\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}2t\,e^{-t}\,dt -3\int_{0}^{1}t^{5}\,dt -c\int_{0}^{1}t^{2}\,dt -\int_{0}^{1}t^{3}\,dt.
Cada termo:
\int_{0}^{1}2t\,e^{-t}\,dt =2-4e^{-1},\quad \int_{0}^{1}t^{5}\,dt=\tfrac{1}{6},\quad \int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\tfrac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\tfrac{1}{4}.
Logo
2-4e^{-1} -3\cdot\tfrac{1}{6} -c\cdot\tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{4} =2-4e^{-1}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{c}{3}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{5}{4}-4e^{-1}-\tfrac{c}{3}.

Resposta

\int_{C}F\cdot d r =\frac{5}{4}-4e^{-1}-\frac{c}{3}.

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