Esboce algumas curvas de nível da função
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos algumas curvas de nível da função
O conteúdo envolvido é “curvas de nível”: para cada valor constante
, a curva de nível é o conjunto de pontos
tais que
Para resolver, vamos:
- Expressar a equação geral
. - Reconhecer o formato geométrico dessa equação.
- Escolher alguns valores de
e determinar as formas específicas das curvas.
Passo 2
Começamos impondo
ou seja
e, isolando os termos quadráticos, obtemos
Para que haja pontos reais nessa curva, precisamos de
, ou seja,
. O caso
dá a curva degenerada
, que é apenas o ponto
.
Passo 3
Para
definimos
. A equação fica
Escrevendo na forma canônica de elipse:
ou seja, é uma elipse centrada em
com semi-eixo ao longo de
igual a
e semi-eixo ao longo de
igual a
Passo 4
Vamos escolher três valores de
para esboçar curvas de nível distintas:
-
Para
: temos .
A elipse écome . -
Para
: temos .
A elipse écome . -
Para
: temos .
A elipse écome .
Resposta
As curvas de nível de
são elipses centradas em
. Por exemplo:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Desenhe essas elipses sobre um mesmo sistema de eixos para completar o esboço.