Esboce algumas curvas de nível da função h(x, y)=4 x^{2}+y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos algumas curvas de nível da função
h(x,y)=4x^{2}+y^{2}+1.
O conteúdo envolvido é “curvas de nível”: para cada valor constante c, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que
h(x,y)=c.
Para resolver, vamos:
  1. Expressar a equação geral h(x,y)=c.
  2. Reconhecer o formato geométrico dessa equação.
  3. Escolher alguns valores de c e determinar as formas específicas das curvas.

Passo 2

Começamos impondo
h(x,y)=c
ou seja
4x^{2}+y^{2}+1=c
e, isolando os termos quadráticos, obtemos
4x^{2}+y^{2}=c-1.
Para que haja pontos reais nessa curva, precisamos de c-1\ge0, ou seja, c\ge1. O caso c=1 dá a curva degenerada 4x^2+y^2=0, que é apenas o ponto (0,0).

Passo 3

Para c>1 definimos k=c-1>0. A equação fica
4x^{2}+y^{2}=k.
Escrevendo na forma canônica de elipse:
\frac{x^{2}}{k/4}+\frac{y^{2}}{k}=1,
ou seja, é uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixo ao longo de x igual a
a_x=\sqrt{\frac{k}{4}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{k}
e semi-eixo ao longo de y igual a
a_y=\sqrt{k}.

Passo 4

Vamos escolher três valores de c para esboçar curvas de nível distintas:
  1. Para c=2: temos k=2-1=1.
    A elipse é
    4x^{2}+y^{2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1/4}+\frac{y^{2}}{1}=1,
    com \displaystyle a_x=\tfrac12 e \displaystyle a_y=1.
  2. Para c=5: temos k=5-1=4.
    A elipse é
    4x^{2}+y^{2}=4 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1,
    com \displaystyle a_x=1 e \displaystyle a_y=2.
  3. Para c=10: temos k=10-1=9.
    A elipse é
    4x^{2}+y^{2}=9 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9/4}+\frac{y^{2}}{9}=1,
    com \displaystyle a_x=\tfrac32 e \displaystyle a_y=3.

Resposta

As curvas de nível de h(x,y) são elipses centradas em (0,0). Por exemplo:
Para c=2:
4x^{2}+y^{2}=1,\quad a_x=\tfrac12,\;a_y=1.
Para c=5:
4x^{2}+y^{2}=4,\quad a_x=1,\;a_y=2.
Para c=10:
4x^{2}+y^{2}=9,\quad a_x=\tfrac32,\;a_y=3.
Desenhe essas elipses sobre um mesmo sistema de eixos para completar o esboço.

Exercícios relacionados