Questão 4 (2 pontos): Estude a função f(x, y)=x^{2}-2 x y+2 y^{2} com relação a máximo e mínimo no conjunto A que é o triângulo formado pelos pontos (-1,-1),(0,1) e (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para achar máximos e mínimos da função
f(x,y)=x^{2}-2xy+2y^{2}
no conjunto fechado e convexo A, que é o triângulo de vértices (-1,-1), (0,1) e (1,-1).
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis em domínio compacto, usando pontos críticos internos e análise na fronteira.

Passo 2

Calculemos o gradiente e encontremos os pontos críticos no interior de A\). \[\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x-2y,\,-2x+4y).
Para \nabla f=0 resolvemos o sistema
\begin{cases} 2x-2y=0,\\\\ -2x+4y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=y\]. Substituindo na segunda, \(-2y+4y=0 2y=0, logo y=0 e x=0. O único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Verifiquemos a natureza deste ponto pelo Hessiano.
H_f(x,y) =\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -2\\\\ -2 & 4 \end{pmatrix}.
Seus menores principais são 2>0 e \det H_f=2\cdot4-(-2)^{2}=8-4=4>0, logo H_f é definida positiva e f é estritamente convexa. Assim (0,0) é mínimo global de f.]

Passo 4

Como A é convexo e compacto, o mínimo ocorre no único ponto crítico interno, e o máximo só pode ocorrer na fronteira de A. Calculamos
f(0,0)=0^{2}-0+0^{2}=0.

Passo 5

Para o máximo, basta avaliar f nos vértices do triângulo, pois a restrição a cada aresta mantém convexidade e em função convexa o máximo na aresta ocorre nas extremidades.
f(-1,-1)=(-1)^{2}-2(-1)(-1)+2(-1)^{2}=1-2+2=1,
f(0,1)=0-0+2\cdot1^{2}=2,
f(1,-1)=1-2(1)(-1)+2\cdot(-1)^{2}=1+2+2=5.

Passo 6

Comparando os valores nos vértices, o maior é 5 em (1,-1).

Resposta

Mínimo: f(0,0)=0 em (0,0).
Máximo: f(1,-1)=5 em (1,-1).

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