O que ocorre com o volume de um cilindro quando o diâmetro da base dobra? E quando quadruplica? E quando fica reduzido à metade?

Passo 1

O enunciado pergunta como muda o volume de um cilindro quando o diâmetro da base sofre certo fator de variação, mantendo a altura fixa. O conteúdo envolvido é escala de sólidos e fórmula do volume de um cilindro. Vamos usar a expressão
V = \pi r^2 h
e relacionar o raio r ao diâmetro d dado por d=2r.

Passo 2

Expressando V em função de d, temos r = d/2, logo
V = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^{2}h = \frac{\pi d^{2}h}{4}.
Isso mostra que o volume é proporcional ao quadrado do diâmetro.

Passo 3

Se o diâmetro é multiplicado por um fator k, isto é, d' = k\,d, então o novo volume é
V' = \frac{\pi (d')^{2}h}{4} = \frac{\pi (k\,d)^{2}h}{4} = k^{2}\,\frac{\pi d^{2}h}{4} = k^{2}V.
Portanto, o volume escala como k^{2}.

Passo 4

Para k=2 (diâmetro dobra):
V' = 2^{2}V = 4V.
O volume quadruplica.

Passo 5

Para k=4 (diâmetro quadruplica):
V' = 4^{2}V = 16V.
O volume fica 16 vezes maior.

Passo 6

Para k=\tfrac12 (diâmetro reduzido à metade):
V' = \bigl(\tfrac12\bigr)^{2}V = \tfrac14V.
O volume fica reduzido a um quarto do original.

Resposta

Quando o diâmetro dobra, o volume quadruplica.
Quando o diâmetro quadruplica, o volume aumenta 16 vezes.
Quando o diâmetro fica pela metade, o volume cai a um quarto.

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