Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
F(x, y, z)=y e^{z} i+x e^{z} j+x y e^{z} k.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y e^{z}\,\mathbf{i}+x e^{z}\,\mathbf{j}+x y e^{z}\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  1. Verificar se o campo é conservativo.
  2. Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial (ou seja, uma função escalar cuja gradiente seja F).
Informações relevantes fornecidas: o campo está definido para todos os pontos (x,y,z) (não há singularidade explícita).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa um campo ser conservativo (explicação passo a passo, bem didática).
Uma função escalar f(x,y,z) é chamada de potencial de F se
\nabla f = F.
Isto significa que
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=R,
onde escrevemos F=(P,Q,R). Aqui, P, Q, R são as componentes do campo. No nosso caso:
P(x,y,z)=y e^{z},\quad Q(x,y,z)=x e^{z},\quad R(x,y,z)=x y e^{z}.
Uma condição prática para verificar se um campo definido em todo \mathbb{R}^3 (que é um domínio simplesmente conectado) é conservativo é checar se o rotacional (curl) é o vetor nulo:
\nabla\times F=\mathbf{0}.
O rotacional em coordenadas cartesianas tem as componentes
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Se todas essas três diferenças forem zero e o domínio for simplesmente conectado (como \mathbb{R}^3), então existe uma função potencial.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias (vou fazer cada uma devagarinho):
Primeiro \frac{\partial R}{\partial y}. Como R(x,y,z)=x y e^{z}, ao derivar em relação a y tratamos x e z como constantes:
\frac{\partial R}{\partial y}=x e^{z}.
Agora \frac{\partial Q}{\partial z}. Como Q(x,y,z)=x e^{z}, ao derivar em relação a z:
\frac{\partial Q}{\partial z}=x e^{z}.
Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x e^{z}-x e^{z}=0.

Passo 4

Continuando, calculamos a segunda componente do rotacional.
Primeiro \frac{\partial P}{\partial z}. Como P(x,y,z)=y e^{z}:
\frac{\partial P}{\partial z}=y e^{z}.
Agora \frac{\partial R}{\partial x}. Como R(x,y,z)=x y e^{z}:
\frac{\partial R}{\partial x}=y e^{z}.
Logo a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y e^{z}-y e^{z}=0.

Passo 5

Terceira componente do rotacional.
Primeiro \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y,z)=x e^{z}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{z}.
Agora \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y,z)=y e^{z}:
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{z}.
Portanto a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{z}-e^{z}=0.

Passo 6

Concluímos que
\nabla\times F=\mathbf{0}.
Como o campo está definido em todo \mathbb{R}^3, que é um domínio simplesmente conectado (isto significa, intuitivamente, que não há “buracos” no domínio pelos quais um laço possa envolver singularidades), a condição \nabla\times F=\mathbf{0} garante que F é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial f tal que \nabla f=F.

Passo 7

Agora vamos encontrar a função potencial f(x,y,z). Partimos das três equações
\frac{\partial f}{\partial x}=y e^{z},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x e^{z},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=x y e^{z}.
Integramos a primeira equação em relação a x, tratando y e z como constantes:
f(x,y,z)=\int y e^{z}\,dx = x y e^{z} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante de integração” que pode depender de y e z (já que integramos em x).

Passo 8

Agora usamos a segunda equação para determinar g. Derivamos a expressão obtida para f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y e^{z} + g(y,z)\big)=x e^{z} + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas sabemos que \frac{\partial f}{\partial y} deve ser igual a Q=x e^{z}. Assim
x e^{z} + \frac{\partial g}{\partial y}=x e^{z}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Portanto g não depende de y; podemos escrever g(y,z)=h(z), onde h é função só de z.

Passo 9

Finalmente usamos a terceira equação para determinar h(z). Derivamos f em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y e^{z} + h(z)\big)=x y e^{z} + h'(z).
Mas sabemos que \frac{\partial f}{\partial z} deve ser igual a R=x y e^{z}. Logo
x y e^{z} + h'(z)=x y e^{z}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Assim h(z) é constante: h(z)=C, com C constante real.

Passo 10

Portanto uma função potencial é
f(x,y,z)=x y e^{z} + C,
onde C é constante arbitrária. Podemos escolher C=0 para simplicidade, então uma potencial conveniente é f(x,y,z)=x y e^{z}.

Resposta

O campo é conservativo.
Uma função potencial é f(x,y,z)=x y e^{z}+C (p. ex. f(x,y,z)=x y e^{z}).

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