Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Verificar se o campo é conservativo.
- Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial (ou seja, uma função escalar cuja gradiente seja
).
Informações relevantes fornecidas: o campo está definido para todos os pontos
(não há singularidade explícita).
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa um campo ser conservativo (explicação passo a passo, bem didática).
Uma função escalar
é chamada de potencial de
se
Isto significa que
onde escrevemos
. Aqui,
,
,
são as componentes do campo. No nosso caso:
Uma condição prática para verificar se um campo definido em todo
(que é um domínio simplesmente conectado) é conservativo é checar se o rotacional (curl) é o vetor nulo:
O rotacional em coordenadas cartesianas tem as componentes
Se todas essas três diferenças forem zero e o domínio for simplesmente conectado (como
), então existe uma função potencial.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias (vou fazer cada uma devagarinho):
Primeiro
. Como
, ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes:
Agora
. Como
, ao derivar em relação a
:
Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Continuando, calculamos a segunda componente do rotacional.
Primeiro
. Como
:
Agora
. Como
:
Logo a segunda componente é
Passo 5
Terceira componente do rotacional.
Primeiro
. Como
:
Agora
. Como
:
Portanto a terceira componente é
Passo 6
Concluímos que
Como o campo está definido em todo
, que é um domínio simplesmente conectado (isto significa, intuitivamente, que não há “buracos” no domínio pelos quais um laço possa envolver singularidades), a condição
garante que
é conservativo. Ou seja, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 7
Agora vamos encontrar a função potencial
. Partimos das três equações
Integramos a primeira equação em relação a
, tratando
e
como constantes:
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
e
(já que integramos em
).
Passo 8
Agora usamos a segunda equação para determinar
. Derivamos a expressão obtida para
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim
Portanto
não depende de
; podemos escrever
, onde
é função só de
.
Passo 9
Finalmente usamos a terceira equação para determinar
. Derivamos
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Logo
Assim
é constante:
, com
constante real.
Passo 10
Portanto uma função potencial é
onde
é constante arbitrária. Podemos escolher
para simplicidade, então uma potencial conveniente é
.
Resposta
O campo é conservativo.
Uma função potencial é (p. ex.
).
Uma função potencial é