Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x y^{3} d s, onde C: \alpha(t)=(4 \operatorname{sen}(t), 4 \cos (t), 3 t), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y^{3}\,d s,
onde a curva C é dada pela parametrização
\alpha(t)=(4\operatorname{sen}(t),\,4\cos(t),\,3t),\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x y^{3}.
  • A parametrização relaciona (x,y,z) com t por x=4\operatorname{sen}(t), y=4\cos(t), z=3t.
  • O intervalo do parâmetro é t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
  • Devemos usar a definição de integral de linha com o elemento de comprimento de arco d s.

Passo 2

Lembrete da fórmula que vamos usar (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \alpha(t) com a\le t\le b, a integral de linha em função de d s é
\int_{C} f(x,y,z)\,d s = \int_{a}^{b} f(\alpha(t))\; \big\|\alpha'(t)\big\|\;dt.
Aqui \alpha'(t) é a derivada vetorial da parametrização (velocidade) e \big\|\alpha'(t)\big\| é o comprimento da velocidade, que transforma dt em comprimento de arco d s. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Primeiro, substituo as coordenadas da parametrização na função f(x,y,z)=x y^{3}.
Das componentes da curva temos
x(t)=4\operatorname{sen}(t),\qquad y(t)=4\cos(t).
Logo
f(\alpha(t)) = x(t)\,y(t)^{3} = \big(4\operatorname{sen}(t)\big)\big(4\cos(t)\big)^{3}.
Calculo a potência:
\big(4\cos(t)\big)^{3} = 4^{3}\cos^{3}(t) = 64\cos^{3}(t).
Portanto
f(\alpha(t)) = 4\operatorname{sen}(t)\cdot 64\cos^{3}(t) = 256\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t).

Passo 4

Agora calculo a derivada da parametrização \alpha(t). Dado
\alpha(t)=(4\operatorname{sen}(t),\,4\cos(t),\,3t),
temos
\alpha'(t)=(4\cos(t),\,-4\operatorname{sen}(t),\,3).
Explico: derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t), de \cos(t) é -\operatorname{sen}(t) e de 3t é 3.

Passo 5

Calculo a norma de \alpha'(t), que é necessária para d s:
\big\|\alpha'(t)\big\| = \sqrt{(4\cos(t))^{2} + (-4\operatorname{sen}(t))^{2} + 3^{2}}.
Faço as contas dentro da raiz:
(4\cos(t))^{2} + (-4\operatorname{sen}(t))^{2} = 16\cos^{2}(t) + 16\operatorname{sen}^{2}(t) = 16\big(\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)\big).
Como \cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)=1, isso vale 16. Então
\big\|\alpha'(t)\big\| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.
Observação: a norma é constante igual a 5, o que simplifica bastante.

Passo 6

Substituo f(\alpha(t)) e \big\|\alpha'(t)\big\| na fórmula da integral de linha:
\int_{C} x y^{3}\,d s = \int_{0}^{\pi/2} 256\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t)\; \cdot 5\; dt.
Multiplicando constantes:
256\cdot 5 = 1280,
portanto a integral fica
\int_{0}^{\pi/2} 1280\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t)\;dt.

Passo 7

Agora integro \int_{0}^{\pi/2}1280\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t)\,dt. Vou usar a substituição simples (aulas de integração): tomar
u=\cos(t) \quad\Rightarrow\quad du=-\operatorname{sen}(t)\,dt.
Isso transforma \operatorname{sen}(t)\,dt em -du. Também mudo os limites: quando t=0, u=\cos(0)=1; quando t=\frac{\pi}{2}, u=\cos\big(\frac{\pi}{2}\big)=0.

Passo 8

Reescrevo a integral em u:
\int_{0}^{\pi/2}1280\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t)\,dt = 1280\int_{t=0}^{t=\pi/2}\operatorname{sen}(t)\cos^{3}(t)\,dt.
Com u=\cos(t) isso vira
1280\int_{u=1}^{u=0} (-u^{3})\,du = -1280\int_{1}^{0} u^{3}\,du.
Inverto os limites para tirar o sinal:
-1280\int_{1}^{0} u^{3}\,du = 1280\int_{0}^{1} u^{3}\,du.

Passo 9

Calculo a integral de u^{3}:
\int_{0}^{1} u^{3}\,du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} = \frac{1}{4}.
Multiplicando pela constante 1280:
1280\cdot \frac{1}{4} = 320.

Resposta

320

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