Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. \int_{C} x y^{3} d s, onde C: \alpha(t)=(4 \operatorname{sen}(t), 4 \cos (t), 3 t), 0 \leq t \leq \pi / 2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x y^{3}.
A parametrização relaciona (x,y,z) com t por x=4\operatorname{sen}(t), y=4\cos(t), z=3t.
O intervalo do parâmetro é t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
Devemos usar a definição de integral de linha com o elemento de comprimento de arco d s.
Passo 2
Lembrete da fórmula que vamos usar (aula rápida): para uma função escalar f(x,y,z) e uma curva parametrizada por \alpha(t) com a\le t\le b, a integral de linha em função de d s é
\int_{C} f(x,y,z)\,d s = \int_{a}^{b} f(\alpha(t))\; \big\|\alpha'(t)\big\|\;dt.
Aqui \alpha'(t) é a derivada vetorial da parametrização (velocidade) e \big\|\alpha'(t)\big\| é o comprimento da velocidade, que transforma dt em comprimento de arco d s. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Primeiro, substituo as coordenadas da parametrização na função f(x,y,z)=x y^{3}.
Das componentes da curva temos
Isso transforma \operatorname{sen}(t)\,dt em -du. Também mudo os limites: quando t=0, u=\cos(0)=1; quando t=\frac{\pi}{2}, u=\cos\big(\frac{\pi}{2}\big)=0.