Calcule a integral de linha \int_{C} F d r quando:
F(x, y)=(\sin (x), \cos (x)) e C é a concatenação da semi circunferência superior de raio 2 orientada no sentido antihorário e o seguimento de reta ligando os pontos (-2,0) e (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot dr onde a campo vetorial e a curva são dados. Informações fornecidas:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(\sin(x),\;\cos(x)).
  • A curva C é a concatenação de duas partes:
    • a semicircunferência superior de raio 2, orientada no sentido antihorário (isto é, a semi‑circunferência que vai de (2,0) a (-2,0) passando por cima);
    • o segmento de reta que liga (-2,0) a (2,0).
  • A curva formada é fechada (a semicircula superior seguida do segmento forma a borda do semi‑disco superior de raio 2).
  • A tarefa é calcular o valor numérico de \displaystyle \int_{C} F\cdot dr.

Passo 2

Escolha do método: podemos calcular a integral por parametrizações das duas partes (trabalhoso) ou usar o Teorema de Green porque a curva é uma curva fechada simples, orientada positivamente (antihorário) e os componentes de F têm derivadas parciais contínuas. Vou usar o Teorema de Green porque simplifica muito o cálculo transformando a integral de linha num integral dupla sobre a região do semi‑disco.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Green (versão que usaremos) e interpretação das letras:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde F=(P,Q) e D é a região no plano limitada por C, com C orientada positivamente (antihorário). Aqui temos P(x,y)=\sin(x) e Q(x,y)=\cos(x). O lado esquerdo da fórmula é exatamente \displaystyle \int_{C} F\cdot dr.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\cos(x)=-\sin(x),
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\sin(x)=0,
porque \sin(x) não depende de y. Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -\sin(x)-0 = -\sin(x).

Passo 5

Descrição da região D sobre a qual integraremos: D é o semi‑disco superior de raio 2 centrado na origem. Em coordenadas cartesianas:
D=\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\; 0\le y\le \sqrt{4-x^2}\}.
Assim podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada em x e y.

Passo 6

Montar a integral dupla usando as bordas de D:
\oint_{C} F\cdot dr \;=\; \iint_{D} -\sin(x)\,dA \;=\; \int_{x=-2}^{2}\int_{y=0}^{\sqrt{4-x^2}} -\sin(x)\, dy\, dx.
Como -\sin(x) não depende de y, a integral interna em y é simplesmente a multiplicação por a extensão vertical \sqrt{4-x^2}-0. Logo:
\oint_{C} F\cdot dr = -\int_{-2}^{2} \sin(x)\,\sqrt{4-x^2}\; dx.

Passo 7

Avaliar a integral usando simetria: considere a função
g(x)=\sin(x)\sqrt{4-x^2}.
Temos g(-x)=\sin(-x)\sqrt{4-(-x)^2}=-\sin(x)\sqrt{4-x^2}=-g(x). Ou seja, g é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
\int_{-2}^{2} \sin(x)\sqrt{4-x^2}\; dx = 0.
Da equação do Passo 6 segue que
\oint_{C} F\cdot dr = -0 = 0.

Resposta

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