Calcule a integral de linha
quando:
e
é a concatenação da semi circunferência superior de raio 2 orientada no sentido antihorário e o seguimento de reta ligando os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial e a curva são dados. Informações fornecidas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a concatenação de duas partes: - a semicircunferência superior de raio
, orientada no sentido antihorário (isto é, a semi‑circunferência que vai de a passando por cima); - o segmento de reta que liga
a .
- a semicircunferência superior de raio
- A curva formada é fechada (a semicircula superior seguida do segmento forma a borda do semi‑disco superior de raio
). - A tarefa é calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Escolha do método: podemos calcular a integral por parametrizações das duas partes (trabalhoso) ou usar o Teorema de Green porque a curva é uma curva fechada simples, orientada positivamente (antihorário) e os componentes de
têm derivadas parciais contínuas. Vou usar o Teorema de Green porque simplifica muito o cálculo transformando a integral de linha num integral dupla sobre a região do semi‑disco.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green (versão que usaremos) e interpretação das letras:
onde
e
é a região no plano limitada por
, com
orientada positivamente (antihorário). Aqui temos
e
. O lado esquerdo da fórmula é exatamente
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green:
porque
não depende de
. Portanto o integrando é
Passo 5
Descrição da região
sobre a qual integraremos:
é o semi‑disco superior de raio
centrado na origem. Em coordenadas cartesianas:
Assim podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada em
e
.
Passo 6
Montar a integral dupla usando as bordas de
:
Como
não depende de
, a integral interna em
é simplesmente a multiplicação por a extensão vertical
. Logo:
Passo 7
Avaliar a integral usando simetria: considere a função
Temos
. Ou seja,
é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Portanto
Da equação do Passo 6 segue que