Justifique o porquê podemos aplicar o Teorema fundamental da integral de linha e, em seguida, calcule
quando:
e
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) justificar por que podemos aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha à integral
; (2) calcular essa integral.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
e a curva
é a imagem da parametrização
Ou seja, a integral a calcular é
, e devemos justificar o uso do Teorema Fundamental da Integral de Linha em vez de calcular diretamente.
Passo 2
O que significa aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha? Vou explicar devagarinho.
- Dizemos que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial tal que
- O Teorema Fundamental da Integral de Linha afirma que, se
é conservativo e é uma potencial para , então a integral de linha ao longo de uma curva parametrizada que vai de a vale
Ou seja: em vez de integrar ao longo do caminho, basta avaliar a potencial nos extremos. Isso simplifica muito os cálculos.
- Condições práticas que costumamos verificar: se
e têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa (por exemplo ) e nessa região, então é conservativo e existe . Vou aplicar exatamente essa verificação ao nosso .
Passo 3
Calculo as derivadas parciais necessárias para testar a condição
. Aqui
e
.
- Calculo
:
- Calculo
:
porque
é tratado como constante em relação a
e
não depende de
.
Como para todo
, a igualdade necessária está satisfeita.
Como
Passo 4
Agora as hipóteses sobre o domínio: as funções
e
são combinações de funções elementares (
e
), logo têm derivadas parciais contínuas em toda
. A região considerada pode ser tomada como
, que é simplesmente conexa (não tem buracos). Portanto, pela condição anterior e pela teoria,
é conservativo em
e existe uma função potencial
definida em toda
. Isso justifica formalmente a aplicação do Teorema Fundamental da Integral de Linha.
Passo 5
Vamos encontrar explicitamente a potencial
. Queremos
e
.
Integro em relação a
(tratando
como constante):
Integro
onde
é uma função arbitrária de
(porque ao derivar em
ela some).
Agora uso a condição para . Calculo
a partir da expressão encontrada:
Agora uso a condição para
Comparo com
. Assim,
Integro
:
onde
é constante (podemos tomar
pois potenciais diferem por constante). Logo uma potencial conveniente é
Passo 6
Faço uma checagem rápida: calcule
e
para garantir que voltamos a
:
Perfeito —
é realmente uma potencial de
.
Passo 7
Agora aplico o Teorema Fundamental da Integral de Linha. Primeiro preciso das extremidades da curva parametrizada
. Calculo:
pois
e
. Note que a curva não é fechada: os pontos inicial e final são diferentes.
Passo 8
Avalio a potencial
nos extremos e calculo a diferença:
Pela fórmula do Teorema Fundamental da Integral de Linha,
Portanto a integral vale zero. (Apesar da parametrização complicada, a integral depende só das extremidades quando
é conservativo.)
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