Justifique o porquê podemos aplicar o Teorema fundamental da integral de linha e, em seguida, calcule \int_{C} F d r quando:
F(x, y)=(\sin (y), x \cos (y)-\sin (y)) e C=\operatorname{Im} \alpha \operatorname{com} \alpha(t)=\left(t \cos (t), e^{t} \sin (t)\right) e 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) justificar por que podemos aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha à integral \int_{C} F\cdot d r; (2) calcular essa integral.
As informações dadas são:
F(x,y)=\big(\sin(y),\,x\cos(y)-\sin(y)\big)
e a curva C é a imagem da parametrização
\alpha(t)=\big(t\cos(t),\,e^{t}\sin(t)\big),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Ou seja, a integral a calcular é \displaystyle\int_{C}F\cdot dr=\int_{0}^{2\pi}F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)\,dt, e devemos justificar o uso do Teorema Fundamental da Integral de Linha em vez de calcular diretamente.

Passo 2

O que significa aplicar o Teorema Fundamental da Integral de Linha? Vou explicar devagarinho.
  • Dizemos que um campo vetorial F=(P,Q) é conservativo se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)= (P,Q).
  • O Teorema Fundamental da Integral de Linha afirma que, se F é conservativo e \varphi é uma potencial para F, então a integral de linha ao longo de uma curva parametrizada \alpha que vai de t=a a t=b vale
\int_{C}F\cdot dr=\varphi(\alpha(b))-\varphi(\alpha(a)).
Ou seja: em vez de integrar ao longo do caminho, basta avaliar a potencial nos extremos. Isso simplifica muito os cálculos.
  • Condições práticas que costumamos verificar: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa (por exemplo \mathbb{R}^2) e \partial_y P=\partial_x Q nessa região, então F é conservativo e existe \varphi. Vou aplicar exatamente essa verificação ao nosso F.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais necessárias para testar a condição \partial_y P=\partial_x Q. Aqui P(x,y)=\sin(y) e Q(x,y)=x\cos(y)-\sin(y).
  • Calculo \partial_y P:
\partial_y P(x,y)=\partial_y\big(\sin(y)\big)=\cos(y).
  • Calculo \partial_x Q:
\partial_x Q(x,y)=\partial_x\big(x\cos(y)-\sin(y)\big)=\cos(y),
porque \cos(y) é tratado como constante em relação a x e -\sin(y) não depende de x.
Como \partial_y P(x,y)=\cos(y)=\partial_x Q(x,y) para todo (x,y), a igualdade necessária está satisfeita.

Passo 4

Agora as hipóteses sobre o domínio: as funções P e Q são combinações de funções elementares ( \sin,\cos e x), logo têm derivadas parciais contínuas em toda \mathbb{R}^2. A região considerada pode ser tomada como \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexa (não tem buracos). Portanto, pela condição anterior e pela teoria, F é conservativo em \mathbb{R}^2 e existe uma função potencial \varphi definida em toda \mathbb{R}^2. Isso justifica formalmente a aplicação do Teorema Fundamental da Integral de Linha.

Passo 5

Vamos encontrar explicitamente a potencial \varphi. Queremos \partial_x\varphi=P=\sin(y) e \partial_y\varphi=Q=x\cos(y)-\sin(y).
Integro \partial_x\varphi=\sin(y) em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int \sin(y)\,dx = x\sin(y)+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (porque ao derivar em x ela some).
Agora uso a condição para \partial_y\varphi. Calculo \partial_y\varphi a partir da expressão encontrada:
\partial_y\varphi(x,y)=\partial_y\big(x\sin(y)+g(y)\big)=x\cos(y)+g'(y).
Comparo com Q(x,y)=x\cos(y)-\sin(y). Assim,
x\cos(y)+g'(y)=x\cos(y)-\sin(y)\quad\Rightarrow\quad g'(y)=-\sin(y).
Integro g'(y):
g(y)=\int -\sin(y)\,dy = \cos(y)+C,
onde C é constante (podemos tomar C=0 pois potenciais diferem por constante). Logo uma potencial conveniente é
\varphi(x,y)=x\sin(y)+\cos(y).

Passo 6

Faço uma checagem rápida: calcule \partial_x\varphi e \partial_y\varphi para garantir que voltamos a F:
\partial_x\varphi=\sin(y)=P,\qquad \partial_y\varphi=x\cos(y)-\sin(y)=Q.
Perfeito — \varphi é realmente uma potencial de F.

Passo 7

Agora aplico o Teorema Fundamental da Integral de Linha. Primeiro preciso das extremidades da curva parametrizada \alpha(t). Calculo:
\alpha(0)=\big(0\cos(0),\,e^{0}\sin(0)\big)= (0,0),
\alpha(2\pi)=\big(2\pi\cos(2\pi),\,e^{2\pi}\sin(2\pi)\big)= (2\pi,0),
pois \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0. Note que a curva não é fechada: os pontos inicial e final são diferentes.

Passo 8

Avalio a potencial \varphi(x,y)=x\sin(y)+\cos(y) nos extremos e calculo a diferença:
\varphi\big(\alpha(2\pi)\big)=\varphi(2\pi,0)=2\pi\sin(0)+\cos(0)=0+1=1,
\varphi\big(\alpha(0)\big)=\varphi(0,0)=0\cdot\sin(0)+\cos(0)=1.
Pela fórmula do Teorema Fundamental da Integral de Linha,
\int_{C}F\cdot dr=\varphi(\alpha(2\pi))-\varphi(\alpha(0))=1-1=0.
Portanto a integral vale zero. (Apesar da parametrização complicada, a integral depende só das extremidades quando F é conservativo.)

Resposta

0

Exercícios relacionados