Calcule a integral de linha \int_{C} F d r quando:
F(x, y)=\left(y^{2}, x^{2}-4\right) e C é o arco de parábola y=x^{2} variando de x=0 а x=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d r onde a campo vetorial e a curva são dadas por:
F(x,y)=\left(y^{2},\,x^{2}-4\right)
e C é o arco da parábola y=x^{2} com x variando de 0 a 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \;F está explicitado, a curva é a parábola y=x^{2} e a orientação é no sentido crescente de x (de 0 para 3). A integral pedida é a integral de linha de um campo vetorial ao longo dessa curva.

Passo 2

Como calcular uma integral de linha de um campo vetorial? Regra prática (a “fórmula” que usamos): se a curva C for parametrizada por \mathbf{r}(t), t\in[a,b], então
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \int_{a}^{b} F\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando as partes: \mathbf{r}(t) dá as coordenadas (x(t),y(t)) no ponto da curva; \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente (derivada componente a componente); F(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nesses pontos; e o produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é uma função escalar que integrarmos em t. O produto escalar entre dois vetores (a,b) e (c,d) é ac+bd.

Passo 3

Parametrizamos a curva y=x^{2} tomando t igual a x. Assim escolho
\mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2}\big),\qquad t\in[0,3].
Derivando componente a componente obtemos
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\,2t\big).
Isso significa que um pequeno deslocamento ao longo da curva é \mathbf{r}'(t)\,dt=(1,2t)\,dt.

Passo 4

Agora substituímos a parametrização no campo F. Como x=t e y=t^{2},
F\big(\mathbf{r}(t)\big)=\left((t^{2})^{2},\;t^{2}-4\right)=\left(t^{4},\;t^{2}-4\right).
Expliquei: substituí y por t^{2} e x por t.

Passo 5

Calculamos o produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\big(t^{4},\,t^{2}-4\big)\cdot(1,\,2t).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
t^{4}\cdot 1 + (t^{2}-4)\cdot 2t = t^{4} + 2t^{3} -8t.

Passo 6

Montamos a integral em t usando o intervalo t\in[0,3]:
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \int_{0}^{3}\big(t^{4}+2t^{3}-8t\big)\,dt.
Agora integramos termo a termo usando a regra da potência \int t^{n}dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} e a linearidade da integral. As primitivas são:
\int t^{4}dt = \dfrac{t^{5}}{5},\qquad \int 2t^{3}dt = 2\cdot\dfrac{t^{4}}{4}=\dfrac{t^{4}}{2},\qquad \int -8t\,dt = -8\cdot\dfrac{t^{2}}{2}=-4t^{2}.
Somando,
\text{primitiva} = \dfrac{t^{5}}{5} + \dfrac{t^{4}}{2} - 4t^{2}.

Passo 7

Avaliamo a primitiva entre 0 e 3:
\left[\dfrac{t^{5}}{5} + \dfrac{t^{4}}{2} - 4t^{2}\right]_{0}^{3} = \left(\dfrac{3^{5}}{5} + \dfrac{3^{4}}{2} - 4\cdot 3^{2}\right) - 0.
Calcule termo a termo: \dfrac{3^{5}}{5}=\dfrac{243}{5}, \dfrac{3^{4}}{2}=\dfrac{81}{2}, 4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36. Para somar use denominador comum 10:
\dfrac{243}{5}=\dfrac{486}{10},\qquad \dfrac{81}{2}=\dfrac{405}{10},\qquad 36=\dfrac{360}{10}.
Somando: \dfrac{486+405-360}{10}=\dfrac{531}{10}.

Passo 8

Portanto a integral de linha vale \dfrac{531}{10}. Mandou bem por encarar a questão — curvas e integrais de linha parecem assustadoras, mas com parametrização e produto escalar fica só um cálculo polinomial.

Resposta

\dfrac{531}{10}

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