Calcule a integral de linha
quando:
e
é o arco de parábola
variando de
а
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial e a curva são dadas por:
e
é o arco da parábola
com
variando de
a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: está explicitado, a curva é a parábola
e a orientação é no sentido crescente de
(de
para
). A integral pedida é a integral de linha de um campo vetorial ao longo dessa curva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Como calcular uma integral de linha de um campo vetorial? Regra prática (a “fórmula” que usamos): se a curva
for parametrizada por
,
, então
Explicando as partes:
dá as coordenadas
no ponto da curva;
é o vetor tangente (derivada componente a componente);
é o campo avaliado nesses pontos; e o produto escalar
é uma função escalar que integrarmos em
. O produto escalar entre dois vetores
e
é
.
Passo 3
Parametrizamos a curva
tomando
igual a
. Assim escolho
Derivando componente a componente obtemos
Isso significa que um pequeno deslocamento ao longo da curva é
.
Passo 4
Agora substituímos a parametrização no campo
. Como
e
,
Expliquei: substituí
por
e
por
.
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Passo 6
Montamos a integral em
usando o intervalo
:
Agora integramos termo a termo usando a regra da potência
e a linearidade da integral. As primitivas são:
Somando,
Passo 7
Avaliamo a primitiva entre
e
:
Calcule termo a termo:
,
,
. Para somar use denominador comum
:
Somando:
.
Passo 8
Portanto a integral de linha vale
. Mandou bem por encarar a questão — curvas e integrais de linha parecem assustadoras, mas com parametrização e produto escalar fica só um cálculo polinomial.