Calcule a integral de linha
\int_{C} \frac{x d x+y d y+z d z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
, em que
C
é o arco da curva
x=2 t
,
y=2 t+1, z=t^{2}+t
, que une os pontos
(0,1,0)
e
(2,3,2)
.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\frac{x\,dx+y\,dy+z\,dz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
onde C é o arco da curva
x=2t,\quad y=2t+1,\quad z=t^{2}+t,
para t de 0 a 1, ligando (0,1,0) a (2,3,2). O conteúdo aqui é reconhecer que essa forma diferencial é exata (campo conservativo) e usar função potencial.

Passo 2

Note que
d\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz,
logo
\frac{x\,dx+y\,dy+z\,dz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} =\frac12\,d\!\bigl(\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})\bigr).
Isso mostra que o campo é gradiente da função
f(x,y,z)=\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
portanto a integral de linha depende apenas dos pontos finais.

Passo 3

Avaliaremos f nos pontos inicial e final:
Para (x,y,z)=(0,1,0) tem-se
x^{2}+y^{2}+z^{2}=0+1+0=1,
então
f(0,1,0)=\tfrac12\ln(1)=0.
Para (x,y,z)=(2,3,2) tem-se
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4+9+4=17,
então
f(2,3,2)=\tfrac12\ln(17).
A integral vale
f(2,3,2)-f(0,1,0) =\tfrac12\ln(17)-0 =\tfrac12\ln(17).

Resposta

\tfrac12\ln(17).

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