Calcule a integral de linha
\int_{C} \frac{x d y+y d x}{x^{2}+y^{2}}
, em que
C
é constituída por: a parte do eixo
x
compreendida entre
+\infty
e o ponto
(1,0)
; o arco do círculo
x^{2}+y^{2}=1
sobre o primeiro, segundo e terceiro quadrantes, de
(1,0)
a
(0,-1)
; a parte do eixo
y
compreendida entre
(0,-1)
e
+\infty
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{x\,dy + y\,dx}{x^{2}+y^{2}}
onde C é composta por três partes:
– o eixo x de x=+\infty até (1,0),
– o arco do círculo
x^{2}+y^{2}=1
no primeiro, segundo e terceiro quadrantes, de (1,0) a (0,-1),
– o eixo y de (0,-1) até y=+\infty.
O conteúdo principal é parâmetrizar cada trecho e avaliar a integral, somando os resultados.

Passo 2

Para o trecho sobre o eixo x temos y=0, logo dy=0 e
x^{2}+y^{2}=x^{2}.
Assim o integrando fica
\frac{x\,dy + y\,dx}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x\cdot0 + 0\cdot dx}{x^{2}}=0,
portanto a contribuição desse trecho é
\int = 0.

Passo 3

No arco do círculo unitário, parámetrização natural é
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,3\pi/2],
pois de t=0 (ponto (1,0)) a t=3\pi/2 (ponto (0,-1)). Calculamos
dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt,
e como x^{2}+y^{2}=1, o numerador vira
x\,dy + y\,dx =\cos t\cdot\cos t\,dt + \sin t\cdot(-\sin t\,dt) =(\cos^{2}t - \sin^{2}t)\,dt =\cos(2t)\,dt.
Então
\int_{\text{arco}} \frac{x\,dy + y\,dx}{x^{2}+y^{2}} =\int_{0}^{3\pi/2}\cos(2t)\,dt =\left[\tfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_{0}^{3\pi/2} =\frac{\sin(3\pi)-\sin(0)}{2} =0.

Passo 4

No trecho sobre o eixo y temos x=0, logo dx=0 e
x^{2}+y^{2}=y^{2},
de onde o integrando é
\frac{x\,dy + y\,dx}{y^{2}} =\frac{0\cdot dy + y\cdot0}{y^{2}}=0.
Portanto essa parte também contribui com zero.

Resposta

Somando as três partes, a integral total vale
0 + 0 + 0 = 0.

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