Calcule a integral de linha
, em que
é a curva de interseção da esfera
com o cilindro
.
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é o laço fechado dado pela interseção da esfera
com o cilindro
, mantendo
. Vamos resolver parametrizando
e calculando diretamente
.
Passo 2
Para parametrizar
, notamos que no plano
o cilindro satisfaz
ou seja, uma circunferência de raio
centrada em
. Tomamos
Como
, na esfera
(e fica não-negativo para
). Logo
Passo 3
Derivando cada componente em função de
, temos
Passo 4
O integrando é
Simplificando termo a termo:
-
-
-
.
Passo 5
Agora integramos de
a
:
-
. -
-
(usar substituição e expansão em cossenos múltiplos).
Somando dá