Calcule a integral de linha
\int_{C} y^{2} d x+z^{2} d y+x^{2} d z
, em que
C
é a curva de interseção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
com o cilindro
x^{2}+y^{2}=x, z \geq 0
.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}y^{2}\,dx + z^{2}\,dy + x^{2}\,dz
onde C é o laço fechado dado pela interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 com o cilindro x^{2}+y^{2}=x, mantendo z\ge0. Vamos resolver parametrizando C e calculando diretamente \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(y^{2}x'+z^{2}y'+x^{2}z')\,dt.

Passo 2

Para parametrizar C, notamos que no plano xy o cilindro satisfaz
x^{2}+y^{2}=x \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}+y^{2}=\tfrac14,
ou seja, uma circunferência de raio \tfrac12 centrada em (\tfrac12,0). Tomamos
x(t)=\frac{1+\cos t}{2}, \quad y(t)=\frac{\sin t}{2}, \quad t\in[0,2\pi].
Como x^{2}+y^{2}=x, na esfera z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{1-x}=\sin\frac t2 (e fica não-negativo para t\in[0,2\pi]). Logo
z(t)=\sin\frac t2.

Passo 3

Derivando cada componente em função de t, temos
x'(t)=-\frac{\sin t}{2}, \quad y'(t)=\frac{\cos t}{2}, \quad z'(t)=\frac12\cos\frac t2.

Passo 4

O integrando é
y^{2}x'+z^{2}y'+x^{2}z' =\frac{\sin^{2}t}{4}\Bigl(-\frac{\sin t}{2}\Bigr) +\sin^{2}\!\frac t2\Bigl(\frac{\cos t}{2}\Bigr) +\Bigl(\frac{1+\cos t}2\Bigr)^{2}\Bigl(\frac{\cos\frac t2}{2}\Bigr).
Simplificando termo a termo:
  1. -\tfrac1{8}\sin^{3}t
  2. \tfrac1{2}\sin^{2}\!\tfrac t2\cos t =\tfrac14\cos t\,(1-\cos t)
  3. \tfrac1{8}(1+\cos t)^{2}\cos\tfrac t2.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2\pi:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt=0.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos t-\cos^{2}t}4\,dt =\frac1{4}\bigl[0-\pi\bigr] =-\frac{\pi}{4}.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+\cos t)^{2}}{8}\cos\frac t2\,dt =0 (usar substituição u=t/2 e expansão em cossenos múltiplos).
Somando dá
0-\frac{\pi}{4}+0 =-\frac{\pi}{4}.

Resposta

-\frac{\pi}{4}.

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