Calcule a integral de linha \int_{C}\left[x y d x+x^{2} d y\right] se:
C é o segmento de reta de (2,1) a $(4,5);

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular \displaystyle \int_{C}\bigl[x\,y\,dx + x^{2}\,dy\bigr] onde C é o segmento de reta de (2,1) até (4,5). O conteúdo aqui é integração de linha de um campo vetorial; iremos parametrizar a curva, calcular dx e dy, substituir na integral e integrar em t de 0 a 1.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=2+2t,\quad y(t)=1+4t,\quad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (2,1) e em t=1 temos (4,5). Então
dx=2\,dt,\quad dy=4\,dt.

Passo 3

Na integral substituímos x, y, dx e dy:
\int_{C}\bigl(xy\,dx + x^{2}\,dy\bigr) = \int_{0}^{1}\Bigl[(x(t)\,y(t))\cdot2 + \bigl(x(t)\bigr)^{2}\cdot4\Bigr]\,dt.
Calculamos cada termo separadamente:
x(t)\,y(t) = (2+2t)(1+4t)=2 + 10t + 8t^{2},
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2\,(x\,y)=4 + 20t + 16t^{2}.
E
\bigl(x(t)\bigr)^{2} = (2+2t)^{2}=4 + 8t +4t^{2},
portanto
4\,x^{2} = 16 + 32t + 16t^{2}.
Somando os dois resultados no integrando, obtemos
4 + 20t +16t^{2} \;+\;16 +32t +16t^{2} =20 +52t +32t^{2}.

Passo 4

Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(20 +52t +32t^{2})\,dt = \Bigl[20t +26t^{2} + \tfrac{32}{3}t^{3}\Bigr]_{0}^{1} =20 +26 + \tfrac{32}{3} =46 + \tfrac{32}{3} = \tfrac{170}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{170}{3}

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