Calcule a integral de linha \int_{C}\left[x y d x+x^{2} d y\right] se:
As equações paramétricas de C são:
x=3 t-1 ; y=3 t^{2}-2 t, 1 \leq t \leq \frac{5}{3}

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da forma diferencial
\int_{C}\bigl[x\,y\,dx + x^{2}\,dy\bigr]
sobre a curva C dada por
x=3t-1,\quad y=3t^{2}-2t,\quad 1\le t\le \tfrac{5}{3}.
O conteúdo é integral de linha paramétrica: vamos parametrizar, calcular dx e dy, montar o integrando em função de t e integrar de t=1 a t=\tfrac{5}{3}.

Passo 2

Calculemos as derivadas da parametrização e as funções
\frac{dx}{dt}=3,\quad \frac{dy}{dt}=6t-2,
P(x,y)=x\,y=(3t-1)(3t^{2}-2t)=9t^{3}-9t^{2}+2t,
Q(x,y)=x^{2}=(3t-1)^{2}=9t^{2}-6t+1.

Passo 3

Substituindo em \int_{C}[P\,dx+Q\,dy]=\int_{1}^{5/3}\bigl[P\,\tfrac{dx}{dt}+Q\,\tfrac{dy}{dt}\bigr]dt, obtemos o polinômio
P\cdot\frac{dx}{dt}+Q\cdot\frac{dy}{dt} =3(9t^{3}-9t^{2}+2t)+(9t^{2}-6t+1)(6t-2) =81t^{3}-81t^{2}+24t-2.
Logo
\int_{C}[x\,y\,dx + x^{2}\,dy] =\int_{1}^{5/3}\bigl(81t^{3}-81t^{2}+24t-2\bigr)\,dt.

Passo 4

Encontre a antiderivada
F(t)=\int\bigl(81t^{3}-81t^{2}+24t-2\bigr)\,dt =\frac{81}{4}t^{4}-27t^{3}+12t^{2}-2t.

Passo 5

Avalie de 1 a \tfrac{5}{3}:
F\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) =\frac{81}{4}\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{4}-27\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{3} +12\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{2}-2\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr) =\frac{245}{4},
F(1)=\frac{81}{4}-27+12-2=\frac{13}{4},
\int_{C}[x\,y\,dx + x^{2}\,dy] =F\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)-F(1) =\frac{245}{4}-\frac{13}{4} =\frac{232}{4} =58.

Resposta

58

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