Verifique se as diferenciais dadas são exatas.
d z=(4 x+3 y) d x+(3 x+8 y) d y

Passo 1

Temos a diferencial
\mathrm{d}z = (4x+3y)\,\mathrm{d}x + (3x+8y)\,\mathrm{d}y,
onde identificamos
M(x,y) = 4x + 3y, \quad N(x,y) = 3x + 8y.
Para verificar se é exata, precisamos checar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x+3y) = 3,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x+8y) = 3.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a diferencial é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial \Phi(x,y) tal que \mathrm{d}\Phi = M\,\mathrm{d}x + N\,\mathrm{d}y, integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (4x+3y)\,\mathrm{d}x = 2x^2 + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Diferenciando em relação a y e igualando a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 3x + h'(y) \overset{!}{=} 3x + 8y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 8y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 4y^2 + C.
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\Phi(x,y) = 2x^2 + 3xy + 4y^2 + C
e podemos tomar
z = 2x^2 + 3xy + 4y^2 + C.

Resposta

A diferencial é exata. Uma função potencial é
z = 2x^2 + 3xy + 4y^2 + C.

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