Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}-x y \mathbf{k},\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}-xy\,\mathbf{k}
e a curva C é dada pela parametrização \mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}+(\operatorname{sen} t)\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}, com 0\le t\le\pi.
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar parametrização, cálculo de \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), de d\mathbf{r} e produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos a curva e escrevemos os componentes:
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\operatorname{sen} t,\quad z(t)=t.

Passo 3

Calculamos o vetor campo ao longo da curva:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(x(t),\,y(t),\,-x(t)y(t)\bigr) =\bigl(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;-\,\cos t\,\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 4

Obtemos o diferencial de posição d\mathbf{r} derivando \mathbf{r}(t):
d\mathbf{r} =\mathbf{r}'(t)\,dt =\bigl(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1\bigr)\,dt.

Passo 5

Formamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\cos t\cdot(-\operatorname{sen} t)+\operatorname{sen} t\cdot\cos t+(-\cos t\,\operatorname{sen} t)\cdot1 =-\cos t\,\operatorname{sen} t+\cos t\,\operatorname{sen} t-\cos t\,\operatorname{sen} t =-\cos t\,\operatorname{sen} t.

Passo 6

A integral de linha vira
\int_{0}^{\pi}\bigl[-\cos t\,\operatorname{sen} t\bigr]\,dt =-\int_{0}^{\pi}\cos t\,\operatorname{sen} t\,dt.
Para essa integral use u=\operatorname{sen} t, du=\cos t\,dt, obtendo
-\int_{0}^{\pi}\cos t\,\operatorname{sen} t\,dt =-\int_{u(0)}^{u(\pi)}u\,du =-\int_{0}^{0}u\,du =0.

Resposta

0

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