Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}-x y \mathbf{k},\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}-x y \mathbf{k},\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant \pi
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e a curva é dada pela parametrização
, com
.
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar parametrização, cálculo de , de
e produto escalar.
e a curva
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais e vamos usar parametrização, cálculo de
Passo 2
Parametrizamos a curva e escrevemos os componentes:
Passo 3
Calculamos o vetor campo ao longo da curva:
Passo 4
Obtemos o diferencial de posição
derivando
:
Passo 5
Formamos o produto escalar
:
Passo 6
A integral de linha vira
Para essa integral use
,
, obtendo