Encontre o fluxo exterior e a circulação anti-horário do campo \vec{F}=\left(x^{3} y^{2}\right) \vec{i}+(1 / 2)\left(x^{4} y\right) \vec{j} na região formadas pelas curvas x=y e y=x^{2}-x.

Passo 1

O enunciado pede dois integrais de linha ao longo da fronteira da região R limitada pelas curvas
y = x \quad\text{e}\quad y = x^2 - x,
sendo um a circulação no sentido anti-horário de \vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j e outro o fluxo exterior de \vec F. Vamos usar o Teorema de Green:
– Circulação:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
– Fluxo exterior:
\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^3y^2, \quad Q(x,y)=\tfrac12\,x^4y.
Calculamos as derivadas parciais para a circulação:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac12\cdot 4x^3y =2x^3y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =2x^3y.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x^3y-2x^3y=0.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, a circulação anti-horário é
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}0\,dA =0.

Passo 4

Agora para o fluxo exterior usamos a divergência:
\frac{\partial P}{\partial x} =3x^2y^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} =\frac12\,x^4,
então
\operatorname{div}\vec F =3x^2y^2+\tfrac12\,x^4.

Passo 5

A região R é dada por
0\le x\le2, \quad x^2-x\le y\le x,
pois as interseções das curvas ocorrem em x=0 e x=2. Assim o fluxo é
\iint_{R}\bigl(3x^2y^2+\tfrac12x^4\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=x^2-x}^{x}\bigl(3x^2y^2+\tfrac12x^4\bigr)\,dy\,dx.

Passo 6

Fazendo a integral interna em y:
\int_{y=x^2-x}^{x}3x^2y^2\,dy = x^2\Bigl[y^3\Bigr]_{x^2-x}^{x} = x^2\bigl(x^3-(x^2-x)^3\bigr),
\int_{y=x^2-x}^{x}\tfrac12x^4\,dy =\tfrac12x^4\bigl[x-(x^2-x)\bigr] =\tfrac12x^4\,(1-x+x)=\tfrac12x^5.
Somando, o integrando em x fica
x^2\bigl(x^3-(x^2-x)^3\bigr)+\tfrac12x^5 =\;x^5\Bigl(\frac32-(x-1)^3-\tfrac12(x-1)\Bigr).

Passo 7

Expandindo e simplificando, obtemos
x^5\Bigl(\frac32-(x-1)^3-\tfrac12(x-1)\Bigr) =-x^8+3x^7-\tfrac72x^6+3x^5.
Logo o fluxo é
\int_{0}^{2}\bigl(-x^8+3x^7-\tfrac72x^6+3x^5\bigr)\,dx.

Passo 8

Calculamos termo a termo:
\int_{0}^{2}-x^8\,dx=-\frac{2^9}{9}=-\frac{512}{9}, \quad \int_{0}^{2}3x^7\,dx=96,
\int_{0}^{2}-\tfrac72x^6\,dx=-64, \quad \int_{0}^{2}3x^5\,dx=32.
Somando, o fluxo =
96-64+32-\frac{512}{9} =64-\frac{512}{9} =\frac{64}{9}.

Resposta

Circulação anti-horário =0.
Fluxo exterior =\tfrac{64}{9}.

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