Encontre o fluxo exterior e a circulação anti-horário do campo
na região formadas pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede dois integrais de linha ao longo da fronteira da região
limitada pelas curvas
sendo um a circulação no sentido anti-horário de
e outro o fluxo exterior de
. Vamos usar o Teorema de Green:
– Circulação:
– Circulação:
– Fluxo exterior:
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais para a circulação:
Logo
Passo 3
Pelo Teorema de Green, a circulação anti-horário é
Passo 4
Agora para o fluxo exterior usamos a divergência:
então
Passo 5
A região
é dada por
pois as interseções das curvas ocorrem em
e
. Assim o fluxo é
Passo 6
Fazendo a integral interna em
:
Somando, o integrando em
fica
Passo 7
Expandindo e simplificando, obtemos
Logo o fluxo é
Passo 8
Calculamos termo a termo:
Somando, o fluxo =
Resposta
Circulação anti-horário
.
Fluxo exterior .
Fluxo exterior