Se \mathbf{A}=(2 y+3) \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+(y z-x) \mathbf{k}, calcular \int_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r} de(0,0,0) até ( 1,1,1 ) ao longo das seguintes trajetórias C :
x=2 t^{2}, y=t, z=t^{3} de t=0 a t=1;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{A}(x,y,z) = (2y+3)\,\mathbf{i} + xz\,\mathbf{j} + (yz - x)\,\mathbf{k}
ao longo da curva C dada por
x=2t^2,\quad y=t,\quad z=t^3,
com t variando de 0 a 1.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial em uma curva parametricamente definida.

Passo 2

Parametrizamos \mathbf{r}(t) e calculamos d\mathbf{r}:
\mathbf{r}(t) = \bigl(2t^2,\;t,\;t^3\bigr), \qquad d\mathbf{r} = \bigl(4t,\;1,\;3t^2\bigr)\,dt.

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{A} para obter \mathbf{A}(t)=\mathbf{A}(\mathbf{r}(t)):
\mathbf{A}(t) = \bigl(2y+3,\;xz,\;yz-x\bigr) = \bigl(2t+3,\;2t^2\cdot t^3,\;t\cdot t^3 - 2t^2\bigr) = \bigl(2t+3,\;2t^5,\;t^4 - 2t^2\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto escalar \mathbf{A}(t)\cdot d\mathbf{r} e simplificamos:
\begin{aligned} \mathbf{A}(t)\cdot d\mathbf{r} &= (2t+3)\,(4t) \;+\; 2t^5\,(1) \;+\; (t^4 - 2t^2)\,(3t^2)\\\ &= 8t^2 + 12t + 2t^5 + 3t^6 - 6t^4\\\ &= 3t^6 + 2t^5 - 6t^4 + 8t^2 + 12t. \end{aligned}

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(3t^6 + 2t^5 - 6t^4 + 8t^2 + 12t\bigr)\,dt = \left[\frac{3}{7}t^7 + \frac{2}{6}t^6 - \frac{6}{5}t^5 + \frac{8}{3}t^3 + \frac{12}{2}t^2\right]_{0}^{1}.
Avaliando em t=1:
\frac{3}{7} + \frac{1}{3} - \frac{6}{5} + \frac{8}{3} + 6 = \frac{3}{7} + 3 - \frac{6}{5} + 6 = 9 + \frac{3}{7} - \frac{6}{5} = 9 + \frac{15 - 42}{35} = 9 - \frac{27}{35} = \frac{315 - 27}{35} = \frac{288}{35}.

Resposta

\int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = \frac{288}{35}.

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