Determine as derivadas parciais.
z=\cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de z=\cos(xy).
O conteúdo é derivada parcial de função de duas variáveis e vamos usar a regra da cadeia, tratando uma variável como constante por vez.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x} mantemos y constante. Definimos u=xy, de modo que z=\cos(u). Pela regra da cadeia: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{dz}{du}=-\sin(u) e \frac{\partial u}{\partial x}=y, segue que \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-y\sin(xy).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y} mantemos x constante. Ainda com u=xy e z=\cos(u), aplicamos a regra da cadeia: \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \frac{dz}{du}=-\sin(u) e \frac{\partial u}{\partial y}=x, logo \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-x\sin(xy).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-y\sin(xy) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-x\sin(xy)

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