Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é dada pela função vetorial \vec{r}(t)
\vec{F}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}, \quad \vec{r}(t)=\cos t \vec{i}+\operatorname{sen} t \vec{j}, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \displaystyle \vec{F}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec{j}
e a curva C é o círculo unitário parametrizado por \displaystyle \vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}+\sin t\,\vec{j}, com 0\le t\le2\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha para campo vetorial e parametrização de curvas.

Passo 2

Vamos escrever d\vec{r} em termos de t. Derivando \vec{r}(t):
\frac{d\vec{r}}{dt}=\bigl(-\sin t\bigr)\,\vec{i}+\bigl(\cos t\bigr)\,\vec{j}.
Logo
d\vec{r}=\bigl(-\sin t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}\bigr)\,dt.

Passo 3

Substituímos \vec{r}(t) em \vec{F} e fazemos o produto escalar com d\vec{r}. Note que em C temos x=\cos t, y=\sin t, de modo que
x^2+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1.
Logo
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =\frac{-\sin t}{1}\,\vec{i}+\frac{\cos t}{1}\,\vec{j} =-\sin t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}.
Fazendo o produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\frac{d\vec{r}}{dt} =\bigl(-\sin t,\cos t\bigr)\cdot\bigl(-\sin t,\cos t\bigr) =\sin^2t+\cos^2t =1.

Passo 4

A integral de linha torna-se
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} =2\pi.

Resposta

\displaystyle 2\pi

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