Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é dada pela função vetorial \vec{r}(t)
\vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+x y \vec{j}+z^{2} \vec{k}, \quad \vec{r}(t)=\operatorname{sen} t \vec{i}+\cos t \vec{j}+t^{2} \vec{k}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de \r \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+x y\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}\r
sobre a curva C parametrizada por \r \vec{r}(t)=\sin t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}+t^{2}\,\vec{k}\r
para 0\le t\le\pi/2. \r
O método consiste em: (1) escrever \vec{F} em termos de t, (2) calcular \vec{r}\,'(t), (3) formar o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) e (4) integrar de 0 a \pi/2.

Passo 2

Substituímos \vec{r}(t) em \vec{F}. Como x=\sin t, y=\cos t e z=t^{2}, temos\r
\vec{F}(\vec{r}(t)) = (\sin t)^{2}\,\vec{i} + (\sin t\,\cos t)\,\vec{j} + (t^{2})^{2}\,\vec{k} = \sin^{2}t\,\vec{i} + \sin t\cos t\,\vec{j} + t^{4}\,\vec{k}.

Passo 3

Derivamos a parametrização:\r
\vec{r}\,'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\sin t,\;\cos t,\;t^{2}\bigr) = (\cos t,\; -\sin t,\;2t).

Passo 4

Formamos o produto escalar:\r
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = \sin^{2}t\cdot\cos t + \sin t\cos t\cdot(-\sin t) + t^{4}\cdot(2t).\r
Note que os dois primeiros termos se cancelam:
\sin^{2}t\cos t - \sin^{2}t\cos t = 0,
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\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = 2\,t^{5}.

Passo 5

Integramos de 0 a \pi/2:\r
\int_{0}^{\pi/2} 2\,t^{5}\,dt = 2 \int_{0}^{\pi/2} t^{5}\,dt = 2 \left[\frac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{2}{6}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{6} = \frac{1}{3}\,\frac{\pi^{6}}{2^{6}} = \frac{\pi^{6}}{192}.

Resposta

\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \frac{\pi^{6}}{192}.

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