Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} x \sqrt{y} d x+2 y \sqrt{x} d y, onde C consiste nos segmentos de retas de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x \sqrt{y}\,dx \;+\; 2y \sqrt{x}\,dy
onde C é o caminho formado por dois segmentos: de (0,0) a (2,0) e de (2,0) a (3,2). Vamos chamar
P(x,y)=x\sqrt{y}, \qquad Q(x,y)=2y\sqrt{x}
e computar a integral em cada parte de C.

Passo 2

Tratemos do primeiro segmento C_1: de (0,0) a (2,0). Aqui y=0 e dy=0, além de \sqrt{y}=0. Logo
\int_{C_1} P\,dx + Q\,dy =\int_{0}^{2} \bigl(x\sqrt{0}\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{2} \bigl(2\cdot0\sqrt{x}\bigr)\,0 =0+0=0.

Passo 3

Agora o segundo segmento C_2: de (2,0) a (3,2). Parametrizamos por t\in[0,1]:
x(t)=2+t,\quad y(t)=2t, \qquad dx=dt,\;dy=2\,dt.
Então
\sqrt{y(t)}=\sqrt{2t}, \quad \sqrt{x(t)}=\sqrt{2+t}.
A integral fica
\int_{C_2} x\sqrt{y}\,dx + 2y\sqrt{x}\,dy =\int_{0}^{1}\bigl((2+t)\sqrt{2t}\bigr)\,dt +\int_{0}^{1}\bigl(2\cdot2t\sqrt{2+t}\bigr)\,(2\,dt).

Passo 4

Separamos as duas partes:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}(2+t)\sqrt{2t}\,dt =\sqrt{2}\!\int_{0}^{1}(2+t)\sqrt{t}\,dt =\sqrt{2}\Bigl[2\!\int_{0}^{1}t^{\tfrac12}dt+\int_{0}^{1}t^{\tfrac32}dt\Bigr] =\frac{26\sqrt{2}}{15}. 2. \displaystyle \int_{0}^{1}2\cdot2t\sqrt{2+t}\cdot2\,dt =8\int_{0}^{1}t\sqrt{2+t}\,dt.
    Fazendo u=2+t, t=u-2, dt=du, os limites vão de u=2 a u=3,
8\int_{2}^{3}(u-2)u^{\tfrac12}du =8\int_{2}^{3}\bigl(u^{\tfrac32}-2u^{\tfrac12}\bigr)du =\frac{-48\sqrt{3}+128\sqrt{2}}{15}.

Passo 5

Somando as duas parcelas de C_2 e lembrando que o pedaço C_1 deu zero, obtemos
\int_{C}x\sqrt{y}\,dx+2y\sqrt{x}\,dy =\frac{26\sqrt{2}}{15}+\frac{-48\sqrt{3}+128\sqrt{2}}{15} =\frac{154\sqrt{2}-48\sqrt{3}}{15}.

Resposta

\boxed{\frac{154\sqrt{2}-48\sqrt{3}}{15}}

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