Calcule a integral de linha \int_{C}(2 x d x+y z d y+3 z d z), ao logo das seguintes curvas:
parábola z=x^{2} no plano y=2 do ponto A(0,2,0) até o ponto B(2,2,4).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de linha
\int_{C}\bigl(2x\,dx \;+\;y\,z\,dy\;+\;3z\,dz\bigr)
ao longo da curva C descrita pela parábola z=x^{2} no plano y=2, do ponto A(0,2,0) até B(2,2,4).
Conteúdo: parametrização de curvas e substituição em integrais de linha de formas diferenciais.

Passo 2

Parametrizamos C usando t como parâmetro igual a x. Assim, para t\in[0,2]:
x(t)=t,\quad y(t)=2,\quad z(t)=t^{2}.
Dessa parametrização segue
dx = dt,\quad dy = 0,\quad dz = 2t\,dt.

Passo 3

Substituímos na forma diferencial:
2x\,dx + y\,z\,dy + 3z\,dz =2t\,dt + 2\cdot (t^{2})\cdot 0 + 3(t^{2})\,(2t\,dt) =2t\,dt +6t^{3}\,dt =(2t +6t^{3})\,dt.
Logo a integral torna-se
\int_{C}(2x\,dx +y z\,dy +3z\,dz) =\int_{0}^{2}(2t +6t^{3})\,dt.

Passo 4

Agora basta integrar em t:
\int_{0}^{2}(2t +6t^{3})\,dt =\left[t^{2} + \frac{6}{4}t^{4}\right]_{0}^{2} =\Bigl(4 + \tfrac{3}{2}\cdot 16\Bigr)-0 =4 +24 =28.

Resposta

28

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