Determine a área da superfície cônica x^{2}=y^{2}+z^{2} que está entre os planos x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do cone definido por
x^{2}=y^{2}+z^{2}
que fica entre os planos x=1 e x=4. O conteúdo envolvido é cálculo de área de superfície via parametrização e integral de superfície.

Passo 2

Para parametrizar essa “folha” do cone (a parte com x>0), note que em cada seção x=u a curva \{(y,z)\} é um círculo de raio u. Podemos usar:
\mathbf{r}(u,\theta)=\bigl(u,\;u\cos\theta,\;u\sin\theta\bigr),
com u\in[1,4] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_{u}=(1,\;\cos\theta,\;\sin\theta), \qquad \mathbf{r}_{\theta}=(0,\;-u\sin\theta,\;u\cos\theta).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{\theta} =(u,\;-u\cos\theta,\;-u\sin\theta),
cuja norma é
\bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\| =\sqrt{u^{2}+u^{2}\cos^{2}\theta+u^{2}\sin^{2}\theta} =\sqrt{2}\,u.

Passo 4

A área da superfície é
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{4} \bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\| \,du\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{4} \sqrt{2}\,u \,du\,d\theta =2\pi\sqrt{2}\int_{1}^{4}u\,du =2\pi\sqrt{2}\,\frac{15}{2} =15\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

15\sqrt{2}\,\pi

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