Seja S uma superfície exterior do parabolóide \vec{r}(x, y)=\left(x, y, x^{2}+y^{2}\right), com (x, y) \in R, R= \left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Determinar a \iint_{S} \vec{f} \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{f} o campo vetorial dado por \vec{f}=(3 x, 3 y,-3 z).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS
através da superfície exterior S do paraboloide
\vec r(x,y)=(x,y,x^2+y^2),\quad x^2+y^2\le4,
para o campo \vec f=(3x,3y,-3z).
Vamos usar o Teorema da Divergência aplicado ao volume V limitado pelo paraboloide e pelo disco plano z=4.

Passo 2

Calculemos a divergência de \vec f:
\div\vec f = \frac{\partial}{\partial x}(3x)+\frac{\partial}{\partial y}(3y)+\frac{\partial}{\partial z}(-3z) =3+3-3=3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iiint_{V}\div\vec f\,dV =\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS +\iint_{D}\vec f\cdot\vec n_{\!D}\,dS,
onde D é o disco x^2+y^2\le4 em z=4, com normal para fora do volume (isto é, apontando para +\!z).

Passo 4

Calculemos \displaystyle\iiint_{V}\div\vec f\,dV =3\cdot\Vol(V).
Em coordenadas cilíndricas r\in[0,2],\theta\in[0,2\pi], o volume entre z=r^2 e z=4 é
\Vol(V) =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\bigl(4-r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}(4r-r^3)\,dr =2\pi\bigl[2r^2-\tfrac{r^4}{4}\bigr]_{0}^{2} =8\pi.
Logo,
\iiint_{V}\div\vec f\,dV =3\cdot8\pi=24\pi.

Passo 5

Agora o fluxo através do disco D em z=4 com \vec n_{D}=(0,0,1) é
\iint_{D}\vec f\cdot\vec n_{D}\,dS =\iint_{x^2+y^2\le4}(3x,3y,-3\cdot4)\cdot(0,0,1)\,dA =\iint_{D}(-12)\,dA =-12\cdot\Area(D) =-12\cdot(4\pi) =-48\pi.

Passo 6

Aplicando o balanço de fluxos:
24\pi =\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS +\bigl(-48\pi\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS =24\pi+48\pi=72\pi.

Resposta

\displaystyle 72\pi

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