(a) Enuncie o Teorema de Green
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral \oint_{C}\left(y^{2} d x+2 x^{2} d y\right), sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,2) e C(0,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) apresentar o Teorema de Green e (b) usar esse teorema para calcular a integral de linha
\displaystyle \oint_{C}\bigl(y^{2}\,dx+2x^{2}\,dy\bigr) onde C é o triângulo de vértices A(0,0), B(1,2), C(0,2), orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar do enunciado do teorema, identificar P(x,y) e Q(x,y), computar \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y e então transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região D do triângulo.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada simples e suave C que delimita uma região D no plano, se P e Q têm derivadas contínuas em D\cup C, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Aqui P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=2x^{2}. Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=4x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2y,
logo o integrando do duplo integral será
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =4x-2y.

Passo 4

A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,2), (0,2). Note que as arestas são dadas por x=0, y=2 e y=2x. Assim, podemos parametrizar D por
0\le y\le 2, \quad 0\le x\le \frac y2.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}\bigl(y^{2}\,dx+2x^{2}\,dy\bigr) =\iint_{D}(4x-2y)\,dA =\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y/2}(4x-2y)\,dx\,dy.

Passo 5

Calculando a integral interna em x:
\int_{0}^{y/2}(4x-2y)\,dx =\bigl[2x^{2}-2yx\bigr]_{0}^{y/2} =\frac{y^{2}}{2}-y^{2} =-\frac{y^{2}}{2}.
Então
\int_{0}^{2}\Bigl(-\frac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy =-\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y^{2}\,dy =-\frac{1}{2}\cdot\frac{2^{3}}{3} =-\frac{4}{3}.
Portanto a integral de linha vale -\tfrac{4}{3}.

Resposta

(a)
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
(b) -\tfrac{4}{3}

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