(a) Enuncie o Teorema de Green
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) apresentar o Teorema de Green e (b) usar esse teorema para calcular a integral de linha
onde
é o triângulo de vértices
,
,
, orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar do enunciado do teorema, identificar
e
, computar
e então transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região
do triângulo.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada simples e suave
que delimita uma região
no plano, se
e
têm derivadas contínuas em
, então
Passo 3
Aqui
e
. Calculamos
logo o integrando do duplo integral será
Passo 4
A região
é o triângulo com vértices
,
,
. Note que as arestas são dadas por
,
e
. Assim, podemos parametrizar
por
Pelo Teorema de Green,
Passo 5
Calculando a integral interna em
:
Então
Portanto a integral de linha vale
.
Resposta
(a)
(b)