Calcule a integral de linha \int_{C} x y d s, sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y\;ds
onde C é o contorno do triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2).
Como C é poligonal, vamos dividir em três trechos: AB, BC e CA, parametrizar cada um como \mathbf r(t), calcular ds=|\mathbf r'(t)|\,dt e somar
\int_{C} x\,y\,ds =\int_{AB}x\,y\,ds+\int_{BC}x\,y\,ds+\int_{CA}x\,y\,ds.

Passo 2

Trecho AB de A(0,0) a B(1,0).
Parametrização: \mathbf r(t)=(t,0), t\in[0,1].
Então x(t)=t, y(t)=0 e
|\mathbf r'(t)|=1,\quad x\,y=t\cdot0=0.
Logo
\int_{AB}x\,y\,ds =\int_{0}^{1}0\cdot1\,dt =0.

Passo 3

Trecho BC de B(1,0) a C(1,2).
Parametrização: \mathbf r(t)=(1,t), t\in[0,2].
Então x(t)=1, y(t)=t e
|\mathbf r'(t)|=1,\quad x\,y=1\cdot t=t.
Logo
\int_{BC}x\,y\,ds =\int_{0}^{2}t\cdot1\,dt =\biggl[\tfrac{t^2}{2}\biggr]_{0}^{2} =2.

Passo 4

Trecho CA de C(1,2) a A(0,0).
Parametrização: \mathbf r(t)=(1-t,\,2-2t), t\in[0,1].
Então x(t)=1-t, y(t)=2-2t e
\mathbf r'(t)=(-1,-2) \quad\Longrightarrow\quad |\mathbf r'(t)|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.
Além disso
x\,y=(1-t)(2-2t)=2(1-t)^2.
Logo
\int_{CA}x\,y\,ds =\int_{0}^{1}2(1-t)^2\;\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\cdot2\int_{0}^{1}(1-t)^2\,dt =\sqrt{5}\cdot2\cdot\frac{1}{3} =\frac{2\sqrt{5}}{3}.

Passo 5

Somando as três contribuições:
\int_{C}x\,y\,ds =0 + 2 + \frac{2\sqrt{5}}{3} =2 + \frac{2\sqrt{5}}{3}.

Resposta

2 + \frac{2\sqrt{5}}{3}.

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