Determine o valor de k para que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ k, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
seja contínua na origem.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x, y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\\ k, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de k para que f seja contínua na origem. Para isso, precisamos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=k.

Passo 2

Para calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\to0^+.
Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(r,\theta) =\frac{3\,(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)}{r^{2}} =\frac{3\,r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}} =3\,r\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 3

Como \bigl|\cos^{2}\theta\sin\theta\bigr|\le1, temos
\bigl|f(r,\theta)\bigr| \le3\,r \longrightarrow0 \quad\text{quando }r\to0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Para f ser contínua na origem, deve valer
k=f(0,0)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

k=0

Exercícios relacionados