Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. \int_{C} y d s, onde C: \alpha(t)=\left(t^{2}, t\right), 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} y\,ds onde a curva C é dada pela parametrização
\alpha(t)=\big(t^{2},t\big),\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes que temos: \alpha(t) fornece x(t)=t^{2} e y(t)=t.
O intervalo do parâmetro é [0,1].
A integral de linha é do tipo “função escalar ao longo da curva” envolvendo o elemento de comprimento de arco ds.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, e uma função escalar f(x,y), a integral de linha relativa ao comprimento de arco é
Por que isso? Porque ds é um pedacinho de comprimento da curva e, em termos do parâmetro, ds=\sqrt{\big(dx/dt\big)^{2}+\big(dy/dt\big)^{2}}\,dt=\big|\alpha'(t)\big|\,dt. Aqui \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Primeiro calculemos a derivada da parametrização: