Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} y d s, onde C: \alpha(t)=\left(t^{2}, t\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} y\,ds onde a curva C é dada pela parametrização
\alpha(t)=\big(t^{2},t\big),\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes que temos:
\alpha(t) fornece x(t)=t^{2} e y(t)=t.
O intervalo do parâmetro é [0,1].
A integral de linha é do tipo “função escalar ao longo da curva” envolvendo o elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, e uma função escalar f(x,y), a integral de linha relativa ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|\alpha'(t)\big|\,dt.
Por que isso? Porque ds é um pedacinho de comprimento da curva e, em termos do parâmetro, ds=\sqrt{\big(dx/dt\big)^{2}+\big(dy/dt\big)^{2}}\,dt=\big|\alpha'(t)\big|\,dt. Aqui \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}.
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Primeiro calculemos a derivada da parametrização:
\alpha'(t)=\big( (t^{2})',\; (t)'\big)=\big(2t,\;1\big).
O módulo é
\big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{(2t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4t^{2}+1}.

Passo 3

Substituímos y(t)=t e \big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{4t^{2}+1} na fórmula da integral de linha:
\int_{C} y\,ds = \int_{0}^{1} t\;\sqrt{4t^{2}+1}\;dt.
Então nosso problema reduziu-se a calcular a integral de função de uma variável
\int_{0}^{1} t\sqrt{4t^{2}+1}\,dt.

Passo 4

Vamos resolver a integral por substituição (método padrão quando aparece t multiplicando uma função de t^{2}). Faça a substituição
u=4t^{2}+1.
Então
du = 8t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{8}.
Mudança dos limites: quando t=0 temos u=4\cdot0^{2}+1=1; quando t=1 temos u=4\cdot1^{2}+1=5.
Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{1} t\sqrt{4t^{2}+1}\,dt = \int_{u=1}^{5} \sqrt{u}\;\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora integramos u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\frac{1}{8}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{1}^{5} = \frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1^{3/2}\big).
Como 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, isso simplifica para
\frac{1}{12}\big(5\sqrt{5}-1\big).

Resposta

\dfrac{1}{12}\big(5\sqrt{5}-1\big)

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