Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
nos seguintes casos.
\gamma é o caminho \gamma(t)=(2+\cos t, sent) e 0 \leq t \leq 4 \pi.
Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais.
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
\int \frac{d t}{1+\cos ^{2} t}=\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{\tan (t) \sqrt{2}}{2}\right)
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando 1 /\left(1+\cos ^{2} t\right) não tenha restrições . Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d t}{1+\cos ^{2} t}=\sqrt{2} \pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}
onde o caminho é dado por \gamma(t)=(2+\cos t,\sin t) com 0\le t\le 4\pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização do caminho é \gamma(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=2+\cos t e y(t)=\sin t.
  • O intervalo de integração em t é [0,4\pi].
  • A integranda em coordenadas cartesianas é \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}.
  • A curva é um círculo de raio 1 com centro em (2,0), percorrido quando t vai de 0 a 4\pi.

Passo 2

Parametrizar a integral: substituir x=x(t), y=y(t), dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt.
Calcule dx e dy:
dx = x'(t)\,dt = -\sin t\,dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = \cos t\,dt.
Calcule o numerador x\,dy - y\,dx:
x\,dy - y\,dx = (2+\cos t)\cos t\,dt - (\sin t)(- \sin t)\,dt = \bigl(2\cos t + \cos^{2}t + \sin^{2}t\bigr)\,dt.
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 temos
x\,dy - y\,dx = (2\cos t + 1)\,dt.
Calcule o denominador x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2} = (2+\cos t)^{2} + \sin^{2}t = 4 + 4\cos t + \cos^{2}t + \sin^{2}t = 5 + 4\cos t.
Portanto a integral se reduz a uma integral em t:
\int_{0}^{4\pi}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = \int_{0}^{4\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt.

Passo 3

Explorar periodicidade e simplificar a integranda por decomposição algébrica.
Observação de periodicidade: a função \dfrac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t} é 2\pi-periódica, logo
\int_{0}^{4\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt = 2\int_{0}^{2\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt.
Fazer a decomposição do integrando na forma A + \dfrac{B}{5+4\cos t}. Procura-se A e B tais que
2\cos t + 1 = A(5 + 4\cos t) + B.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de \cos t: 2 = 4A \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Termo constante: 1 = 5A + B = \tfrac{5}{2} + B \Rightarrow B = 1 - \tfrac{5}{2} = -\tfrac{3}{2}.
Logo
\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t} = \frac{1}{2} - \frac{3/2}{5 + 4\cos t}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt = \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,dt - \frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t}.
Calcule a primeira integral imediatamente:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Resta calcular \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t} usando a substituição de Weierstrass u=\tan\frac{t}{2}.
Recorde as fórmulas:
\cos t = \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}},\qquad dt = \frac{2\,du}{1+u^{2}}.
Para tratar bem o intervalo, observe que a integral de 0 a 2\pi pode ser obtida duplicando a integral de 0 a \pi:
\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t} = 2\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t}.
Na substituição u=\tan\frac{t}{2}, quando t vai de 0 a \pi, u vai de 0 a +\infty. Substituindo:
\frac{dt}{5 + 4\cos t} = \frac{2\,du}{1+u^{2}}\cdot\frac{1}{5 + 4\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}} = \frac{2\,du}{1+u^{2}}\cdot\frac{1+u^{2}}{5(1+u^{2}) + 4(1-u^{2})}.
Calcule o denominador combinado:
5(1+u^{2}) + 4(1-u^{2}) = 5 + 5u^{2} + 4 - 4u^{2} = 9 + u^{2}.
Portanto
\frac{dt}{5 + 4\cos t} = \frac{2\,du}{9 + u^{2}}.
Assim
\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t} = \int_{0}^{\infty}\frac{2\,du}{9 + u^{2}}.
Essa integral é direta:
\int_{0}^{\infty}\frac{2\,du}{9 + u^{2}} = 2\left[\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right)\right]_{0}^{\infty} = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{5 + 4\cos t} = 2\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Passo 5

Voltar à integral original sobre um período:
\int_{0}^{2\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt = \pi - \frac{3}{2}\cdot\frac{2\pi}{3} = \pi - \pi = 0.
Como o intervalo original é 0 a 4\pi, que corresponde a duas voltas completas da parametrização:
\int_{0}^{4\pi}\frac{2\cos t + 1}{5 + 4\cos t}\,dt = 2\cdot 0 = 0.

Passo 6

Interpretação geométrica e checagem rápida (intuição útil para a prova):
A forma \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} é, fora da origem, o diferencial do argumento polar: se escrevemos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, então
\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = d\theta.
Assim a integral ao longo de uma curva fechada dá 2\pi vezes o número de voltas (número de enrolamentos) que a curva faz ao redor da origem. No nosso caso a curva é um círculo centrado em (2,0) com raio 1. Esse círculo não envolve a origem (distância do centro ao origem é 2, maior que o raio 1), portanto o número de voltas em torno da origem é 0 e a integral deve ser 0, consistente com o cálculo direto acima.

Resposta

0

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