Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o caminho
, sent) e
.
Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais.
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando
não tenha restrições . Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde o caminho é dado por
com
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parametrização do caminho é
com e . - O intervalo de integração em
é . - A integranda em coordenadas cartesianas é
. - A curva é um círculo de raio
com centro em , percorrido quando vai de a .
Passo 2
Parametrizar a integral: substituir
,
,
,
.
Calcule
e
:
Calcule o numerador
:
Usando
temos
Calcule o denominador
:
Portanto a integral se reduz a uma integral em
:
Passo 3
Explorar periodicidade e simplificar a integranda por decomposição algébrica.
Observação de periodicidade: a função
é
-periódica, logo
Fazer a decomposição do integrando na forma
. Procura-se
e
tais que
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Logo
Assim
Calcule a primeira integral imediatamente:
Resta calcular
.
Passo 4
Calcular
usando a substituição de Weierstrass
.
Recorde as fórmulas:
Para tratar bem o intervalo, observe que a integral de
a
pode ser obtida duplicando a integral de
a
:
Na substituição
, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo:
Calcule o denominador combinado:
Portanto
Assim
Essa integral é direta:
Logo
Passo 5
Voltar à integral original sobre um período:
Como o intervalo original é
a
, que corresponde a duas voltas completas da parametrização:
Passo 6
Interpretação geométrica e checagem rápida (intuição útil para a prova):
A forma
é, fora da origem, o diferencial do argumento polar: se escrevemos
,
, então
Assim a integral ao longo de uma curva fechada dá
vezes o número de voltas (número de enrolamentos) que a curva faz ao redor da origem. No nosso caso a curva é um círculo centrado em
com raio
. Esse círculo não envolve a origem (distância do centro ao origem é
, maior que o raio
), portanto o número de voltas em torno da origem é
e a integral deve ser
, consistente com o cálculo direto acima.