Calcule a integral de linha \int_{\gamma} x y d s, sendo \gamma o segmento de reta que vai de (0,3) a (4,6).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo escalar f(x,y)=xy ao longo do segmento de reta \gamma que vai de (0,3) até (4,6). O conteúdo envolve parametrizar essa curva e usar a fórmula da integral de linha em função do comprimento de arco:
\int_{\gamma} f(x,y)\,ds

Passo 2

Vamos parametrizar \gamma por um parâmetro t\in[0,1]. Como \gamma é o segmento de (0,3) a (4,6), uma parametrização linear é
\mathbf r(t) = (x(t),y(t)) = (0+4t,\;3+3t),\quad 0\le t\le1.

Passo 3

Calculamos o vetor derivada
\mathbf r'(t) = (x'(t),y'(t)) = (4,3)
e seu módulo, que é constante:
\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\| = \sqrt{4^2+3^2} = 5.
Logo
ds = \|\mathbf r'(t)\|\,dt = 5\,dt.

Passo 4

Na parametrização, temos
x(t)=4t,\quad y(t)=3+3t,
então
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = x(t)\,y(t) = 4t\,(3+3t) = 12t + 12t^2.
A integral de linha torna-se
\int_{\gamma} xy\,ds = \int_{0}^{1} \bigl(12t + 12t^2\bigr)\cdot 5\,dt = \int_{0}^{1} \bigl(60t + 60t^2\bigr)\,dt.

Passo 5

Basta integrar em t:
\int_{0}^{1} \bigl(60t + 60t^2\bigr)\,dt = 60\int_{0}^{1} t\,dt + 60\int_{0}^{1} t^2\,dt = 60\cdot\frac{1}{2} + 60\cdot\frac{1}{3} = 30 + 20 = 50.

Resposta

O valor da integral de linha é 50.

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