( \mathbf{2 , 5} pontos): Um recipiente adiabático contém \mathbf{4 , 0 0} \mathbf{~ k g} de gelo com temperatura de \mathbf{- 6 0 , 0} { }^{\circ} C. A massa do recipiente pode ser desprezada. Fornecemos calor ao sistema a uma taxa de 3000 \mathrm{cal} / \mathrm{min} durante 200 min .
a) (1,0) Depois de quantos minutos o gelo começa a derreter?
b) (1,0) Depois de quantos minutos (a partir do ínício) todo gelo vira água a zero grau?
c) (0,5) Qual é a temperatura final da água?

Passo 1

O enunciado dá um bloco de gelo de massa m=4{,}00\\ \mathrm{kg}=4000\\ \mathrm g a -60{,}0^\circ\mathrm C num recipiente adiabático. Fornecemos calor a uma taxa P=3000\\ \mathrm{cal/min} durante 200\\ \mathrm{min}. Para resolver, usamos calorimetria com:
– calor específico do gelo \,c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)},
– calor de fusão \,L_f=80\\ \mathrm{cal/g},
– calor específico da água \,c_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}á.

Passo 2

Calor necessário para elevar o gelo de -60{,}0^\circ\mathrm C a 0^\circ\mathrm C:
Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T = 4000\cdot 0{,}5\cdot(0-(-60)) = 4000\cdot0{,}5\cdot60 =120000\\ \mathrm{cal}.
Tempo para isso:
t_1 = \frac{Q_1}{P} = \frac{120000}{3000} = 40\\ \mathrm{min}.

Passo 3

Calor para fundir todo o gelo a 0^\circ\mathrm C:
Q_2 = m\,L_f = 4000\cdot80 =320000\\ \mathrm{cal}.
Tempo de fusão:
t_2 = \frac{Q_2}{P} = \frac{320000}{3000}\approx106{,}7\\ \mathrm{min}.
Portanto, o gelo termina de derreter no instante
t_1 + t_2 = 40 + 106{,}7 \approx 146{,}7\\ \mathrm{min}
após o início.

Passo 4

Calor total fornecido em 200\\ \mathrm{min}:
Q_{\text{tot}} = P\cdot200 = 3000\cdot200 =600000\\ \mathrm{cal}.
Calor restante depois de aquecer e fundir o gelo:
Q_3 = Q_{\text{tot}} - (Q_1+Q_2) =600000 - (120000+320000) =160000\\ \mathrm{cal}.
Esse Q_3 aquece a água de 0^\circ\mathrm C a T_f:
Q_3 = m\,c_{\text{água}}\,(T_f - 0) =4000\cdot1{,}0\cdot T_f =4000\,T_f.á
Logo
T_f = \frac{160000}{4000} = 40^\circ\mathrm C.

Resposta

a) 40\\ \mathrm{min}.
b) 146{,}7\\ \mathrm{min} (aprox. 147\\ \mathrm{min}).
c) 40^\circ\mathrm C.

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