Justifique o porquê podemos aplicar o Teorema fundamental da integral de linha e, em seguida, calcule \int_{C} F d r quando:
F(x, y)=\left(y^{2} \cos \left(x y^{2}+3 x^{2}, 2 x y \cos \left(x y^{2}\right)+2 y\right)\right. e C é uma curva ligando os pontos (-1,0) a (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que podemos aplicar o Teorema Fundamental da integral de linha e, em seguida, calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot dr, onde C é qualquer curva ligando os pontos (-1,0) e (1,0). As informações dadas são:
\text{Ponto inicial: }(-1,0),\qquad \text{Ponto final: }(1,0).
\text{Campo vetorial }F\text{ dado no enunciado (há ambiguidade de escrita).}á
Observação importante: a expressão de F(x,y) enviada parece ter um par de parênteses/vírgulas trocados, então há ambiguidade sobre os componentes. Vou adotar a interpretação mais provável e consistente com a aplicação do Teorema Fundamental (isto é, o enunciado provavelmente queria um campo conservativo): assumo
F(x,y)=\bigl((y^{2}+6x)\cos(xy^{2}+3x^{2}),\;2xy\cos(xy^{2}+3x^{2})+2y\bigr).
Esta escolha faz sentido porque aparece naturalmente como o gradiente de uma função escalar simples (veremos abaixo). Se o enunciado original fosse realmente diferente, o cálculo muda; mas com essa interpretação podemos justificar e aplicar o Teorema Fundamental da integral de linha.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental da integral de linha (versão usada aqui):
Se existir uma função escalar f(x,y) com derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo a curva C e tal que F=\nabla f nessa região, então, para qualquer curva suave C que vai de A a B,
\int_{C}F\cdot dr = f(B)-f(A).
Explicando devagar: \nabla f significa o vetor \bigl(\partial f/\partial x,\; \partial f/\partial y\bigr). O teorema diz que a integral de linha de um campo gradiente depende apenas dos valores de f nos extremos do caminho, não do caminho escolhido. Condição técnica necessária: as derivadas parciais de f (logo as componentes de F) devem ser contínuas na região considerada (aqui, a região pode ser todo \mathbb{R}^2, já que usamos funções trigonométricas e polinomiais). Então, para aplicar o teorema precisamos encontrar f tal que \nabla f=F.

Passo 3

Tentar encontrar f integrando uma componente ou reconhecendo uma estrutura. Proponho a função candidata
f(x,y)=\sin\bigl(xy^{2}+3x^{2}\bigr)+y^{2}.
Agora vamos calcular \partial f/\partial x e \partial f/\partial y passo a passo para confirmar que \nabla f=F.
Primeiro, defina u(x,y)=xy^{2}+3x^{2}. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=y^{2}+6x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2xy.
Agora calcule \partial f/\partial x. Usamos a regra da cadeia: derivative de \sin(u) em relação a x é \cos(u)\cdot \partial u/\partial x. Assim
\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\bigl(xy^{2}+3x^{2}\bigr)\cdot (y^{2}+6x) + 0 = (y^{2}+6x)\cos\bigl(xy^{2}+3x^{2}\bigr).
Agora \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \cos\bigl(xy^{2}+3x^{2}\bigr)\cdot (2xy) + 2y = 2xy\cos\bigl(xy^{2}+3x^{2}\bigr) + 2y.
Comparando, vemos que \nabla f(x,y)=\bigl((y^{2}+6x)\cos(xy^{2}+3x^{2}),\;2xy\cos(xy^{2}+3x^{2})+2y\bigr), que é exatamente o F que assumimos. As derivadas parciais envolvidas são combinações de funções polinomiais e \cos, logo contínuas em toda \mathbb{R}^{2}. Portanto F é um campo conservativo (gradiente de f) em uma região aberta que contém a curva C.

Passo 4

Pela verificação do passo anterior, todas as hipóteses do Teorema Fundamental da integral de linha estão satisfeitas: existe f com derivadas contínuas tais que F=\nabla f numa região que contém C. Logo podemos aplicar o teorema e concluir que a integral depende só dos extremos:
\int_{C}F\cdot dr = f\bigl(1,0\bigr)-f\bigl(-1,0\bigr).

Passo 5

Calcule os valores de f nos extremos. Lembre que \;f(x,y)=\sin(xy^{2}+3x^{2})+y^{2}.
Para (1,0):
f(1,0)=\sin\bigl(1\cdot 0^{2}+3\cdot 1^{2}\bigr)+0^{2}=\sin(3).
Para (-1,0):
f(-1,0)=\sin\bigl((-1)\cdot 0^{2}+3\cdot (-1)^{2}\bigr)+0^{2}=\sin(3).
Portanto
f(1,0)-f(-1,0)=\sin(3)-\sin(3)=0.

Passo 6

Conclusão: a integral de linha de F ao longo de qualquer curva C que liga (-1,0) a (1,0) vale 0. Intuitivamente, como F é um campo conservativo, não há “ganho líquido” ao sair de (-1,0) e chegar em (1,0) — o potencial tem o mesmo valor nos dois pontos.

Resposta

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