Justifique o porquê podemos aplicar o Teorema fundamental da integral de linha e, em seguida, calcule
quando:
e
é uma curva ligando os pontos
a
Passo 1
O enunciado pede para justificar por que podemos aplicar o Teorema Fundamental da integral de linha e, em seguida, calcular
, onde
é qualquer curva ligando os pontos
e
. As informações dadas são:
Observação importante: a expressão de
enviada parece ter um par de parênteses/vírgulas trocados, então há ambiguidade sobre os componentes. Vou adotar a interpretação mais provável e consistente com a aplicação do Teorema Fundamental (isto é, o enunciado provavelmente queria um campo conservativo): assumo
Esta escolha faz sentido porque aparece naturalmente como o gradiente de uma função escalar simples (veremos abaixo). Se o enunciado original fosse realmente diferente, o cálculo muda; mas com essa interpretação podemos justificar e aplicar o Teorema Fundamental da integral de linha.
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental da integral de linha (versão usada aqui):
Se existir uma função escalar com derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo a curva
e tal que
nessa região, então, para qualquer curva suave
que vai de
a
,
Se existir uma função escalar
Explicando devagar:
significa o vetor
. O teorema diz que a integral de linha de um campo gradiente depende apenas dos valores de
nos extremos do caminho, não do caminho escolhido. Condição técnica necessária: as derivadas parciais de
(logo as componentes de
) devem ser contínuas na região considerada (aqui, a região pode ser todo
, já que usamos funções trigonométricas e polinomiais). Então, para aplicar o teorema precisamos encontrar
tal que
.
Passo 3
Tentar encontrar
integrando uma componente ou reconhecendo uma estrutura. Proponho a função candidata
Agora vamos calcular
e
passo a passo para confirmar que
.
Primeiro, defina
. Então
Agora calcule
. Usamos a regra da cadeia: derivative de
em relação a
é
. Assim
Agora
:
Comparando, vemos que
, que é exatamente o
que assumimos. As derivadas parciais envolvidas são combinações de funções polinomiais e
, logo contínuas em toda
. Portanto
é um campo conservativo (gradiente de
) em uma região aberta que contém a curva
.
Passo 4
Pela verificação do passo anterior, todas as hipóteses do Teorema Fundamental da integral de linha estão satisfeitas: existe
com derivadas contínuas tais que
numa região que contém
. Logo podemos aplicar o teorema e concluir que a integral depende só dos extremos:
Passo 5
Calcule os valores de
nos extremos. Lembre que
.
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 6
Conclusão: a integral de linha de
ao longo de qualquer curva
que liga
a
vale
. Intuitivamente, como
é um campo conservativo, não há “ganho líquido” ao sair de
e chegar em
— o potencial tem o mesmo valor nos dois pontos.