Exemplo 1: Calcule, se existirem, os seguintes limites.
\lim _{z \rightarrow 0} \sqrt[2023]{z^{2022}+z^{2024}} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{z}\right);

Passo 1

O problema pede
\lim_{z\to0}\sqrt[2023]{z^{2022}+z^{2024}}\;\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{z}\bigr).
O conteúdo é cálculo de limite envolvendo fatoração de potência e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Note que
z^{2022}+z^{2024} = z^{2022}(1+z^2).
Como a raiz de índice ímpar de um número não negativo é bem definida, podemos reescrever
\sqrt[2023]{z^{2022}+z^{2024}} =\bigl(z^{2022}(1+z^2)\bigr)^{\tfrac{1}{2023}}.

Passo 3

Separando potências, obtemos
\bigl(z^{2022}(1+z^2)\bigr)^{\tfrac{1}{2023}} =\bigl(z^{2022}\bigr)^{\tfrac{1}{2023}}\,(1+z^2)^{\tfrac{1}{2023}} =|z|^{\tfrac{2022}{2023}}\,(1+z^2)^{\tfrac{1}{2023}}.
Então a função fica
f(z) =|z|^{\tfrac{2022}{2023}}\,(1+z^2)^{\tfrac{1}{2023}}\;\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{z}\bigr).

Passo 4

Como \cos(\pi/z) oscila entre -1 e 1, vale
\bigl|f(z)\bigr| \le |z|^{\tfrac{2022}{2023}}\,(1+z^2)^{\tfrac{1}{2023}}.
Quando z\to0, temos (1+z^2)^{1/2023}\to1 e |z|^{2022/2023}\to0. Pelo Teorema do Confronto, segue que f(z)\to0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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