Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
(a) \frac{1}{5}
(b) \frac{1}{4}
(c) \frac{1}{10}
(d) \frac{1}{20}
\begin{gathered} \mathbf{F}(x, y)=x y^{2} \mathbf{i}-x^{2} \mathbf{j} \\\ r(t)=t^{3} \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=x\,y^{2}\,\mathbf{i}-x^{2}\,\mathbf{j} e a curva C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t) = t^{3}\,\mathbf{i} + t^{2}\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le1.
Aqui vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor diferencial \mathbf{r}'(t). Como
\mathbf{r}(t) = \bigl(t^{3},\,t^{2}\bigr),
temos
\mathbf{r}'(t) = \bigl(3t^{2},\,2t\bigr).

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}(x,y):
x=t^{3},\quad y=t^{2}
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(t^{3}\,(t^{2})^{2},\,-(t^{3})^{2}\bigr) =(t^{7},\,-t^{6}).

Passo 4

Agora formamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
(t^{7},-t^{6})\cdot(3t^{2},\,2t) =3t^{9}-2t^{7}.
Portanto a integral fica
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\bigl(3t^{9}-2t^{7}\bigr)\,dt.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}3t^{9}\,dt = 3\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{10}, \qquad \int_{0}^{1}2t^{7}\,dt = 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.
Logo
\int_{0}^{1}(3t^{9}-2t^{7})\,dt =\frac{3}{10}-\frac{1}{4} =\frac{3}{10}-\frac{2{,}5}{10} =\frac{0{,}5}{10} =\frac{1}{20}.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{1}{20}

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