Questão 4:

Encontre a solução geral das EDOs abaixo:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0
u^{\prime \prime}+4 u^{\prime}+4 u=0
v^{\prime \prime}+2 v^{\prime}+10 v=0
Assinale a alternativa que contenha a solução CORRETA:
y(t)=c_{1} e^{3 t}+c_{2} e^{2 t}, u(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} t e^{2 t}
e
v(t)=e^{-t}\left(c_{1} \cos 3 t+c_{2} \operatorname{sen} 3 t\right)
y(t)=c_{1} e^{-3 t}+c_{2} e^{2 t}, u(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} t e^{2 t}
e
v(t)=e^{-t}\left(c_{1} \cos 3 t-c_{2} \operatorname{sen} 3 t\right)
y(t)=c_{1} e^{3 t}+c_{2} e^{2 t}, u(t)=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} t e^{-2 t}
e
v(t)=e^{-t}\left(c_{1} \cos 3 t+c_{2} \operatorname{sen} 3 t\right)
y(t)=c_{1} e^{3 t}+c_{2} e^{2 t}, u(t)=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} t e^{-2 t}
e
v(t)=e^{-t}\left(c_{1} \cos 3 t-c_{2} \operatorname{sen} 3 t\right)
y(t)=c_{1} e^{3 t}+c_{2} e^{2 t}, u(t)=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} t e^{-2 t}
e
v(t)=e^{t}\left(c_{1} \cos 3 t+c_{2} \operatorname{sen} 3 t\right)

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais das EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes y''-5y'+6y=0, u''+4u'+4u=0 e v''+2v'+10v=0.
Para resolver cada uma usamos o método do polinômio característico, cujas raízes determinam a forma da solução geral.

Passo 2

Para y''-5y'+6y=0 montamos o característico
r^2 -5r +6 = 0.
As raízes são
r = 2,\quad r = 3.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}.

Passo 3

Para u''+4u'+4u=0 o característico é
r^2 +4r +4 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+2)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla r=-2. Nesse caso a solução geral é
u(t) = \big(D_1 + D_2\,t\big)e^{-2t}.

Passo 4

Para v''+2v'+10v=0 temos
r^2 +2r +10 = 0 \;\Longrightarrow\; r = -1 \pm 3i.
Para raízes complexas conjugadas -1\pm3i, a solução real geral é
v(t) = e^{-t}\big(E_1\cos(3t) + E_2\sin(3t)\big).

Passo 5

Comparando com as alternativas, a que corresponde a
y(t)=c_{1}e^{3t}+c_{2}e^{2t},\quad u(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}\,t\,e^{-2t},\quad v(t)=e^{-t}\big(c_{1}\cos(3t)+c_{2}\sin(3t)\big)
é a terceira opção.

Resposta

A terceira alternativa.

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