Considere o PVI dado por
\frac{d y}{d t}=4-t+2 y
e y 0=1
y(0)=1
. Utilize o método de Euler com
h=0.1
para encontrar aproximações tal que
y_{1}=y(0.1)
,
y_{2}=y(0.2)
e
y_{3}=y(0.3)
. Utilize 2 casas decimais em seus cálculos.

Passo 1

O problema nos dá o PVI
\frac{dy}{dt} = 4 - t + 2y,\quad y(0)=1
e pede para usar o método de Euler explícito com passo h=0,1 para aproximar y_1\approx y(0{,}1), y_2\approx y(0{,}2) e y_3\approx y(0{,}3). Vamos usar a fórmula
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=4 - t + 2y.

Passo 2

Definimos as iterações com
t_n = n\,h,\quad y_{n+1} = y_n + 0,1\bigl(4 - t_n + 2y_n\bigr).
Começamos em t_0=0, y_0=1.

Passo 3

Para n=0:
t_0 = 0,\quad y_0 = 1,
f(t_0,y_0) = 4 - 0 + 2\cdot1 = 6{,}00,
y_1 = y_0 + 0,1\cdot6{,}00 = 1{,}00 + 0{,}60 = 1{,}60.

Passo 4

Para n=1:
t_1 = 0{,}1,\quad y_1 = 1{,}60,
f(t_1,y_1) = 4 - 0{,}1 + 2\cdot1{,}60 = 4 - 0{,}1 + 3{,}20 = 7{,}10,
y_2 = y_1 + 0{,}1\cdot7{,}10 = 1{,}60 + 0{,}71 = 2{,}31.

Passo 5

Para n=2:
t_2 = 0{,}2,\quad y_2 = 2{,}31,
f(t_2,y_2) = 4 - 0{,}2 + 2\cdot2{,}31 = 4 - 0{,}2 + 4{,}62 = 8{,}42,
y_3 = y_2 + 0{,}1\cdot8{,}42 = 2{,}31 + 0{,}842 = 3{,}15.

Resposta

y_1 = 1{,}60 y_2 = 2{,}31 y_3 = 3{,}15

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