Calcule a integral de linha
e
é o triângulo de vértices
e
orientado no sentido horário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
e
é o triângulo de vértices
,
,
, orientado horário visto de cima.
Conteúdo: usaremos o Teorema de Stokes para reduzir a integral de linha a uma integral de superfície do rotacional de .
Conteúdo: usaremos o Teorema de Stokes para reduzir a integral de linha a uma integral de superfície do rotacional de
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Chamando
,
temos
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes,
onde
é o triângulo no plano dos três vértices. Como
é orientado horário visto do eixo
, o normal unitário
deve apontar com componente
negativa (inverso ao normal “natural” com
).
Passo 4
Parametrizamos
por
com
. Assim
Calculamos
Para ajustar a orientação (normal com
), usamos
.
Passo 5
Fazemos a integral de superfície:
O produto escalar é
, logo
Na parametrização,
, e
, então