Calcule a integral de linha
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, \quad \text { onde } \vec{F}(x, y, z)=\left(\cos (\sqrt{x}), \ln \left(y^{2}+1\right), x z\right)
e C é o triângulo de vértices (a, a, 0),(0, a, 0) e (0,0, a) orientado no sentido horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y,z)=(\cos(\sqrt x),\;\ln(y^2+1),\;xz) e C é o triângulo de vértices (a,a,0), (0,a,0), (0,0,a), orientado horário visto de cima.
Conteúdo: usaremos o Teorema de Stokes para reduzir a integral de linha a uma integral de superfície do rotacional de \vec F.

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\vec F. Chamando \vec F=(P,Q,R),
P=\cos(\sqrt x),\quad Q=\ln(y^2+1),\quad R=xz,
temos
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(0-0,\;0 - z,\;0-0)=(0,\,-z,\,0).

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot \mathbf n\,dS,
onde S é o triângulo no plano dos três vértices. Como C é orientado horário visto do eixo +z, o normal unitário \mathbf n deve apontar com componente z negativa (inverso ao normal “natural” com +\!z).

Passo 4

Parametrizamos S por
\vec r(u,v)=(1-u-v)(a,a,0)+u(0,a,0)+v(0,0,a),
com u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1. Assim
\vec r(u,v)=(a(1-u-v),\;a(1-v),\;a\,v).
Calculamos
\vec r_u=(-a,0,0),\quad \vec r_v=(-a,-a,a),
\vec r_u\times\vec r_v =(0,\;a^2,\;a^2).
Para ajustar a orientação (normal com z<0), usamos -(\vec r_u\times\vec r_v).

Passo 5

Fazemos a integral de superfície:
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{D}(\nabla\times\vec F)\cdot\bigl[-(\vec r_u\times\vec r_v)\bigr]\,du\,dv =-\iint_{D}(0,-z,0)\cdot(0,a^2,a^2)\,du\,dv.
O produto escalar é (0,-z,0)\cdot(0,a^2,a^2)=-a^2\,z, logo
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =-\iint_{D}(-a^2\,z)\,du\,dv =a^2\iint_{D}z\,du\,dv.
Na parametrização, z=a\,v, e D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}, então
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =a^2\int_{v=0}^{1}\int_{u=0}^{1-v}a\,v\,du\,dv =a^3\int_{0}^{1}v(1-v)\,dv =a^3\Bigl[\tfrac12-\tfrac13\Bigr] =\frac{a^3}{6}.

Resposta

\boxed{\frac{a^3}{6}}.

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