1. Seja C a curva parametrizada pela função vetorial \mathbf{r}(t)=(t, \cos t, sen t), onde t \in[0, \pi]. Calcule o comprimento de arco dessa curva. Determine também a curvatura da curva. Suponha que a trajetória de uma partícula seja descrita pela função vetorial \mathbf{r}(t). A partícula começa no ponto \mathbf{r}(0)=(0,1,0). Suponha que ela se mova \frac{\pi \sqrt{2}}{2} unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto da trajetória a partícula se encontra?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=(t,\cos t,\sin t), t\in[0,\pi]:
  1. calcular o comprimento de arco dessa curva;
  2. determinar a curvatura \kappa.
    Em seguida, uma partícula percorre essa curva desde t=0 até um ponto em que o comprimento percorrido vale \tfrac{\pi\sqrt{2}}{2}, e precisamos achar as coordenadas desse ponto. Para resolver vamos usar as fórmulas de comprimento de arco
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\mathbf r'(u)\bigr\|\,du
e de curvatura
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\bigr\|}{\|\mathbf r'(t)\|^{3}}.

Passo 2

Calcular \mathbf r'(t) e seu módulo:
\mathbf r'(t)=\bigl(1,\,-\sin t,\,\cos t\bigr),
\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|=\sqrt{1+(\!-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}} =\sqrt{1+\sin^{2}t+\cos^{2}t} =\sqrt{2}.

Passo 3

O comprimento de arco total, de t=0 até t=\pi, é
s=\int_{0}^{\pi}\|\mathbf r'(t)\|\,dt =\int_{0}^{\pi}\sqrt{2}\,dt =\pi\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular \mathbf r''(t) e o produto vetorial:
\mathbf r''(t)=\bigl(0,\,-\cos t,\,-\sin t\bigr).
\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -\sin t & \cos t\\\\ 0 & -\cos t & -\sin t \end{vmatrix} =\bigl(1,\;\sin t,\;-\,\cos t\bigr),
\bigl\|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\bigr\| =\sqrt{1+\sin^{2}t+\cos^{2}t} =\sqrt{2}.
Logo, a curvatura é
\kappa(t) =\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{3}} =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =\frac12.

Passo 5

Para achar o ponto em que o arco percorrido vale \tfrac{\pi\sqrt{2}}{2}, usamos
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,du =t\sqrt{2} \overset{!}{=}\frac{\pi\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\pi}{2}.
Então a partícula está em
\mathbf r\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2},\;\cos\!\tfrac{\pi}{2},\;\sin\!\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2},\,0,\,1\Bigr).

Resposta

Comprimento de arco: \pi\sqrt{2}.
Curvatura: \kappa=\tfrac12.
Ponto após percorrer \tfrac{\pi\sqrt{2}}{2}: \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,1\bigr).

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