Seja C a curva parametrizada pela função vetorial \mathbf{r}(t)=(t, \cos t, sen t), onde t \in[0, \pi]. Calcule o comprimento de arco dessa curva. Determine também a curvatura da curva. Suponha que a trajetória de uma partícula seja descrita pela função vetorial \mathbf{r}(t). A partícula começa no ponto \mathbf{r}(0)=(0,1,0). Suponha que ela se mova \frac{\pi \sqrt{2}}{2} unidades de comprimento na direção positiva. Em que ponto da trajetória a partícula se encontra?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(t,\cos t,\sin t), t\in[0,\pi]:
calcular o comprimento de arco dessa curva;
determinar a curvatura \kappa.
Em seguida, uma partícula percorre essa curva desde t=0 até um ponto em que o comprimento percorrido vale \tfrac{\pi\sqrt{2}}{2}, e precisamos achar as coordenadas desse ponto. Para resolver vamos usar as fórmulas de comprimento de arco