Calcule a integral de linha
onde
é a metade superior da circunferência
Dados:
Parametrização:
Dados:
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que envolve integral de linha. A pergunta é para calcular a integral de linha
, onde
é a metade de cima da circunferência
. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e entender como calcular a integral de linha usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parametrização que foi dada:
Aqui,
é o nosso parâmetro que varia de
a
, representando a metade superior da circunferência unitária.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar o elemento de comprimento
.
Passo 4
O próximo passo é usar a fórmula geral da integral de linha:
Substituindo
, temos:
Passo 5
Vamos calcular o que está dentro da raiz:
Portanto, a raiz quadrada disso é
. Assim, a integral simplifica para:
Passo 6
Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira integral é fácil:
Para a segunda integral, usamos uma substituição. Vamos deixar
, então
. A integral fica:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
Somando tudo, a integral de linha
.