Calcule a integral de linha integralC(1+x y) cdot d s onde C é a metade superior da circunferência x^2+y^2=1
Dados:
integralc f(x, y) d s=integrala^b f(x(t), y(t)) raiz[x^prime(t)]^2+[y^prime(t)]^2 d t
Parametrização:
C:l x(t)=1 cdot cos (t) y(t)=1 cdot sen(t) com 0 <= t <= pi

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que envolve integral de linha. A pergunta é para calcular a integral de linha integralC(1 + xy) , ds, onde C é a metade de cima da circunferência x^2 + y^2 = 1. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e entender como calcular a integral de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parametrização que foi dada:
C:l x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) com 0 <= t <= pi
Aqui, t é o nosso parâmetro que varia de 0 a pi, representando a metade superior da circunferência unitária.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
x'(t) = ddt[cos(t)] = -sin(t)
y'(t) = ddt[sin(t)] = cos(t)
Essas derivadas vão nos ajudar a encontrar o elemento de comprimento ds.

Passo 4

O próximo passo é usar a fórmula geral da integral de linha:
integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 , dt
Substituindo f(x, y) = 1 + xy, temos:
integral0^pi (1 + x(t) y(t)) raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 , dt

Passo 5

Vamos calcular o que está dentro da raiz:
[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 = sin^2(t) + cos^2(t) = 1
Portanto, a raiz quadrada disso é 1. Assim, a integral simplifica para:
integral0^pi (1 + cos(t) sin(t)) , dt

Passo 6

Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^pi 1 , dt + integral0^pi cos(t) sin(t) , dt
A primeira integral é fácil:
integral0^pi 1 , dt = pi
Para a segunda integral, usamos uma substituição. Vamos deixar u = sin(t), então du = cos(t) dt. A integral fica:
integral cos(t) sin(t) , dt = integral u , du = u^22 + C = sin^2(t)2 + C
Agora, avaliamos de 0 a pi:
[ sin^2(pi)2 ] - [ sin^2(0)2 ] = 02 - 02 = 0

Resposta

Somando tudo, a integral de linha integralC(1 + xy) , ds = pi.

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