Calcule a integral de linha integralC F cdot d r em que F(x, y)=(e^2 y, 1+2 x e^2 y) e C é curva dada é por r(t)=(t e^t, 1+t) para 0 <= t <= 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=(e^2y,,1+2x e^2y)
e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=(t e^t,;1+t) para 0<= t<=1.
O conteúdo da matéria é integral de linha de campos vetoriais e, em particular, vamos verificar se F é conservativo para usar o teorema do gradiente.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo conferindo as derivadas parciais cruzadas:
P(x,y)=e^2y, Q(x,y)=1+2x e^2y.
partial Ppartial y =partialpartial ye^2y =2e^2y, partial Qpartial x =partialpartial xl(1+2x e^2yr) =2e^2y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em todo o plano.

Passo 3

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
nablaphi=F.
Da condição phix=P=e^2y, integra-se em x:
phi(x,y)=integral e^2y,dx =x,e^2y+h(y)
Então
phiy =2x e^2y+h'(y) stackrel!=Q=1+2x e^2y ;Longrightarrow; h'(y)=1 ;Longrightarrow; h(y)=y
Logo
phi(x,y)=x,e^2y+y

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr =phil(r(1)r)-phil(r(0)r)
Calculamos os extremos:
r(1)=(e,2) Rightarrow
phi(e,2) =ecdot e^4+2 =e^5+2
r(0)=(0,1) Rightarrow
phi(0,1) =0cdot e^2+1 =1
Assim
integralCFcdot dr =(e^5+2)-1 =e^5+1

Resposta

e^5+1

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