Calcule a integral de linha
em que
e
por
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e a curva é dada pela parametrização
para
.
O conteúdo da matéria é integral de linha de campos vetoriais e, em particular, vamos verificar se é conservativo para usar o teorema do gradiente.
e a curva
O conteúdo da matéria é integral de linha de campos vetoriais e, em particular, vamos verificar se
Passo 2
Verificamos se
é conservativo conferindo as derivadas parciais cruzadas:
,
.
Como
, o campo é conservativo em todo o plano.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
.
Da condição , integra-se em
:
Da condição
Então
Logo
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Calculamos os extremos:
Assim