Calcule a integral de linha
em que
e
é a curva dada por
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \r
onde
e
é a curva \r
para
. \r
O conteúdo principal aqui é reconhecer que pode ser um campo conservativo e usar potencial para simplificar o cálculo.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, checando \r
\r
e \r
\r
Como ambos coincidem em todo o domínio, é conservativo e existe uma função potencial
tal que
.
e \r
Como ambos coincidem em todo o domínio,
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
: \r
onde
é função de
. Então impomos \r
logo
e podemos tomar
. \r
Portanto \r
Portanto \r
Passo 4
Como
, vale \r
Calculamos os pontos finais: \r
e
. \r
Logo \r
Logo \r