Calcule a integral de linha integralC F cdot d r em que F(x, y)=(2 x y^3, 3 x^2 y^2) e C é a curva dada por r(t)=(sin t, t^2+1) para 0 <= t <= pi2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \r
integralCFcdot dr \r
onde F(x,y)=(2xy^3,,3x^2y^2) e C é a curva \r
r(t)=(sin t,;t^2+1) para 0<= t<= tfracpi2. \r
O conteúdo principal aqui é reconhecer que F pode ser um campo conservativo e usar potencial para simplificar o cálculo.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, checando \r
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy^3) = 6xy^2 \r
e \r
partial Qpartial x = partialpartial x(3x^2y^2) = 6xy^2 \r
Como ambos coincidem em todo o domínio, F é conservativo e existe uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F.

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos P=2xy^3 em relação a x: \r
f(x,y) = integral 2xy^3,dx = x^2y^3 + g(y), \r
onde g(y) é função de y. Então impomos \r
partial fpartial y = 3x^2y^2 + g'(y) stackrel!= Q = 3x^2y^2, \r
logo g'(y)=0 e podemos tomar g(y)=0. \r
Portanto \r
f(x,y) = x^2y^3

Passo 4

Como F=nabla f, vale \r
integralCFcdot dr = fl(r(tfracpi2)r) - fl(r(0)r) \r
Calculamos os pontos finais: \r
r(0)=(0,1) e r(tfracpi2)=(1,;(tfracpi2)^2+1)=(1,;tfracpi^24+1). \r
Logo \r
f(1,tfracpi^24+1) = 1^2l(tfracpi^24+1r)^3, f(0,1)=0^2cdot1^3=0

Resposta

integralCFcdot dr = l(tfracpi^24 + 1r)^3

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