Encontre o trabalho feito pelo campo de força.
F(x, y, z)=z i+x j+y k
ao mover uma partícula do ponto (3,0,0) ao ponto (0, pi / 2,3) ao longo de uma reta

Passo 1

A questão pede o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z)=z, i + x, j + y, k ao levar uma partícula de (3,0,0) até (0,pi/2,3) seguindo uma reta. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial (trabalho de força), e vamos precisar parametrizar a reta e usar W=integralC Fcdot d r.

Passo 2

Vamos parametrizar a reta que liga P0=(3,0,0) a P1=(0,pi/2,3). Uma parametrização natural é
r(t)=(1-t)(3,0,0)+t(0,tfracpi2,3)=(3-3t,tfracpi2 t,3t),
com t variando de 0 a 1.

Passo 3

Calculamos o vetor diferencial
r'(t)=ddt(3-3t,tfracpi2 t,3t)=(-3,tfracpi2,3)

Passo 4

Substituímos na integral de trabalho: primeiro avaliamos F( r(t)):
F( r(t))=(z, x, y)l|(3-3t,tfracpi2 t,3t)=(3t,3-3t,tfracpi2 t)
O produto escalar é
F( r(t))cdot r'(t)= (3t)(-3)+(3-3t)(tfracpi2)+(tfracpi2 t)(3)

Passo 5

Simplificamos o integrando:
(3t)(-3)+(3-3t)(tfracpi2)+(tfracpi2 t)(3)=-9t+tfrac3pi2-tfrac3pi2t+tfrac3pi2t=tfrac3pi2-9t
Então o trabalho é
W=integral0^1l(tfrac3pi2-9tr),dt

Passo 6

Integramos de 0 a 1:
W=[tfrac3pi2t-tfrac92t^2]0^1=tfrac3pi2-tfrac92=3pi-92

Resposta

O trabalho realizado é W=3pi-92.

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