Calcule a integral de linha
ao longo da hélice
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da hélice dada por
O conteúdo é integrar uma forma diferencial, e vamos aproveitar que ela é conservativa (exata), ou então parametrizar e integrar direto.
Passo 2
Percebemos que a forma
é exata, isto é, existe uma função potencial
tal que
coincide com
. Comparando coeficientes:
-
implica . -
implica . -
implica .
Logo podemos tomar
Passo 3
Como
, a integral de linha depende só dos pontos inicial e final. No parâmetro
, o ponto inicial (
) é
e o ponto final (
) é
Passo 4
Basta agora calcular
Calculando cada um:
Portanto a diferença é
Resposta
18\pi^2