Calcule a integral de linha
integralC d x+y d y+z d z ao longo da hélice x=cos (t), y=sen(t), z=3 t e 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC dx + y,dy + z,dz
ao longo da hélice dada por
x=cos t, y=sin t, z=3t, 0<= t<= 2pi
O conteúdo é integrar uma forma diferencial, e vamos aproveitar que ela é conservativa (exata), ou então parametrizar e integrar direto.

Passo 2

Percebemos que a forma omega=dx+y,dy+z,dz é exata, isto é, existe uma função potencial f(x,y,z) tal que
df = partial fpartial x,dx + partial fpartial y,dy + partial fpartial z,dz
coincide com omega. Comparando coeficientes:
  • partial f/partial x = 1 implica f = x + g(y,z).
  • partial f/partial y = y implica g(y,z) = y^2/2 + h(z).
  • partial f/partial z = z implica h(z) = z^2/2 + C.
    Logo podemos tomar
f(x,y,z) = x + y^22 + z^22

Passo 3

Como omega = df, a integral de linha depende só dos pontos inicial e final. No parâmetro t, o ponto inicial ( t=0) é
(x,y,z)=(cos0,sin0,0)=(1,0,0)
e o ponto final ( t=2pi) é
(x,y,z)=(cos2pi,sin2pi,6pi)=(1,0,6pi)

Passo 4

Basta agora calcular
integralC omega = f(1,0,6pi) - f(1,0,0)
Calculando cada um:
f(1,0,6pi)=1+0+(6pi)^22=1+36pi^22=1+18pi^2,
f(1,0,0)=1+0+0=1
Portanto a diferença é
(1+18pi^2)-1=18pi^2

Resposta

18\pi^2

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